domingo, 2 de noviembre de 2008

LOS CAMBIOS DE REGISTRO EN EL APRENDIZAJE DE LAS FRACCIONES


En la mayoría de las prácticas de enseñanza de las matemáticas, se puede notar como principio fundamental, la preparación sólida de los conocimientos como punto de partida indispensable para la ampliación y adquisición de otros nuevos. Las representaciones, el ejercicio constante de cada mecanismo adquirido, son indispensables como medios didácticos. Los problemas deben ir graduados en progresión creciente de dificultad y agrupados dentro de lo posible dentro de tipos análogos. En estas prácticas pedagógicas han sido formados la mayor parte de los maestros de matemáticas que se encuentran en ejercicio.


LOS CAMBIOS DE REGISTRO EN EL APRENDIZAJE DE LAS FRACCIONES.


En el estudio de las fracciones se presenta el mayor número de errores y obstáculos epistemológicos produciendo confusiones en los registros de representación mental debido a fallas en la estructura curricular, porque la mayoría de los conceptos relacionados con las fracciones aparecían diseminados en todos los cursos sin ningún vínculo con otros conceptos matemáticos y mucho menos con el significado dentro de un contexto, parece subyacer la idea de que sea la práctica repetitiva lo que lleve a su comprensión y a un dominio rutinario de las reglas de cálculo, se nota una preocupación sobre el cómo se usan las fracciones que de qué son.


Realizando un análisis de las guías para el maestro emanadas del Ministerio de Educación Nacional bajo la asesoría de la Misión Alemana, se puede observar en la guía de matemáticas del grado cuarto de primaria el énfasis en el afianzamiento de conceptos y en la operatoria y entonces, la necesidad de los números fraccionarios se fundamenta en la ampliación del campo de los números naturales cuando no se hace posible la división exacta entre números naturales. La operatoria está fundamentada en el algoritmo dejando de lado el concepto, esto se puede ver en los siguientes ejemplos propuestos como orientaciones metodológicas para el maestro.


Repartir 6 naranjas
a. Entre dos alumnos
b. Entres tres alumnos
c. Entre cuatro alumnos
d. Entre cinco alumnos
e. Entre seis alumnos


Y en la solución que se propone se nota el marcado énfasis en la utilización del algoritmo.

Escribir las expresiones numéricas correspondientes.
6:2 = 3, porque, 3 x 2 = 6
6: 3 = 2, porque 2 x 3 = 6
6: 4 = 1, residuo 2, porque (1 x 4) + 2 = 6
6: 5 = 1, residuo 1, porque (1 x 5) + 1 = 6
6: 6 = 1, residuo 0, porque (1x 6) + 0 = 6


La comprobación gráfica de las reparticiones realizadas, no muestra claridad sobre el proceso seguido. Se puede ver además que la secuencia regularmente adoptada en la enseñanza de las fracciones como es: concepto, relaciones-equivalencia y orden-operaciones-significado y algoritmo, es trabajada en un contexto específico surge entonces la pregunta ¿Es capaz el estudiante de trasladar esa comprensión y destrezas conseguidas a interpretaciones y contextos diferentes?.

Se ha podido observar que la capacidad de trasladar esa comprensión a situaciones distintas no es del todo clara, es decir, puede ser que el estudiante tenga claro el significado de una fracción en una situación, sabiendo realizar su representación con diagramas y de forma numérica, así como reconocer el significado de las operaciones en dicho contexto y esto no implica que sepa utilizar la misma "herramienta" en contextos distintos.


Los textos de apoyo a las guías del maestro, que circularon bajo el nombre "calculemos", también asesorados por la Misión Alemana, proponen una secuencia de enseñanza basada en la memorización ausente de significación y en la algoritmación.


A continuación se presenta una secuencia de enseñanza para tercero de primaria en donde se estudia la fracción ½. Este tipo de enseñanza sin compresión genera equívocos registros de representación mental que imposibilita al niño para aplicar lo aprendido en la solución de situaciones de la vida cotidiana.






















Se hace indispensable entonces el planteamiento de secuencias de enseñanza de tal forma que proporcionen a los niños la adecuada experiencia con la mayoría de sus interpretaciones, pero para lograr esto es importante resaltar que en el aprendizaje del concepto de fracción se pasa por una variedad de estructuras cognitivas a las que las diferentes interpretaciones de las fracciones están conectadas, en el siguiente diagrama se pueden ver los diferentes tipos de interpretaciones del concepto de fracción.


Esta red conceptual se debe tener en cuenta cuando se planee una secuencia de enseñanza, pero también es importante anotar que cada elemento de le red conceptual anterior genera una nueva red conceptual y llama una gran cantidad de estructuras cognitivas.

Las fracciones encierran una gran riqueza de significados, según Kieren (1976), las principales interpretaciones de un número racional son las siguientes:

· Una sub-área de una región previamente definida.
· Una relación parte-todo entre cantidades discretas.
· El resultado de una comparación entre dos cantidades discretas o dos medidas.
· El resultado de una división entre dos enteros o sencillamente la indicación de esa operación.
· Un punto de una escala graduada, situado entre dos valores enteros.

No todos los significados anteriores tienen las mismas dificultades de comprensión por parte de los niños. Depende básicamente de dos factores, el marco experiencial vinculado a la edad, el grado de abstracción y de si se refiere al significado asociado a fracción, a decimal o a porcentaje.

Si se hace referencia a los significados asociados a fracción, parece que la noción de "partes de un todo" es la de más fácil comprensión por los niños, resultando más asequible la tarea de sombrear en una figura una fracción dada que la operación inversa, sobre todo si en la zona sombreada se incluyen superficies equivalentes, pero de distinta forma, como partes del todo.

Dentro de esta relación parte-todo, parece que el modelo área es más asequible que el modelo discreto o la recta numérica; sin embargo presenta algunas dificultades como son:

· La compresión de áreas de igual tamaño.
· Las diversas transiciones desde un diagrama hasta la expresión verbal o simbólica.
· La comprensión de fracciones impropias.
· La identificación de la unidad en situaciones donde hay más de una unidad.
· Las derivadas de la adición usando diagramas de áreas.

Aunque matemáticamente la representación como sub-longitud de una longitud unidad es una analogía unidimensional de la de sub-área de un área unitaria, se pone de manifiesto en los niños de básica primaria que el modelo de recta numérica es bastante más complejo que el de la relación parte-todo tanto como sub-área como la de subconjunto de un conjunto discreto, fundamentalmente porque reduce la fracción a un número abstracto. Sin embargo presenta dos ventajas: permite una comprensión de los racionales como extensión de los números naturales; potencia la aparición de las fracciones impropias.

El trabajo con el modelo de recta numérica presenta dos dificultades, una de ellas es la asociada con la identificación de la unidad o la que surge al operar con una escala que va más allá de uno.


La fracción relacionada con la operación de división de los números enteros en los problemas de reparto presenta una gran similitud con el modelo de sub-área de un área unitaria, cuando se trata de repartir una unidad. La situación se vuelve más difícil para el niño, cuando son varias las unidades a repartir o cuando éstas no pueden ser divididas, como sucede cuando se pretende repartir animales u objetos que habría de partir.


En cuando al tema de la proporcionalidad, se puede decir que es un núcleo a partir del cual se unifican las nociones de razón, proporción, fracción y número racional, número decimal y problema de la medida, escalas, repartos proporcionales, regla de tres, porcentajes. La proporcionalidad permite la comparación del tamaño de dos conjuntos o medidas por lo tanto se constituye en el fundamento de muchas de las aplicaciones de las fracciones en la vida rea.

Cuando se comparan mediante una fracción dos conjuntos o medidas, posibilita que la razón pueda invertirse, por lo tanto no existe una unidad natural o un todo.

Otra dificultad esencial la constituye la representación escrita de los números decimales, porque aunque en la básica primaria se enseñan antes las fracciones a través de situaciones concretas y mediante la relación parte-todo en modelos continuos, los decimales se muestran enfatizando en los aspectos de notación y suponiendo que el conocimiento de las fracciones está sólidamente construido. La traducción de un número decimal como representación mental a representación escrita, ha presentado como obstáculo relevante la identificación de la parte decimal como una porción de la unidad


La relación parte – todo y la medida.

Esta situación se presenta cuando un todo (continuo o discreto) se divide en partes congruentes. La fracción indica la relación que existe entre un número de partes y el número total de partes, el cual puede estar formado por varios todos.

Se hacen necesarias algunas habilidades para el dominio de la relación parte – todo como son: la capacidad de dividir un todo en partes, reconocer el todo, realizar divisiones congruentes, reconocer las partes del todo.

La estructura cognitiva de la noción de fracción en su aspecto parte – todo en contextos continuos ha sido estudiada por Piaget, Inhelder y Szeminska la cual se fundamenta en la adquisición de las siguientes habilidades:

· Un todo está compuesto por elementos separables. Una región o superficie es vista como divisible.
· La separación se puede realizar en un número determinado de partes pre-establecido o pedido.
· Las subdivisiones cubren el todo (la mayor parte de los niños pequeños cuando se les pide repartir un pastel entre tres muñecos cortan tres trozos e ignoran el resto).
· El número de partes no coincide con el número de cortes.
· Los trozos-partes, son iguales. Las partes tienen que ser del mismo tamaño, es decir, congruentes.
· Las partes se pueden considerar como totalidad (un cuarto de un todo, se puede obtener dividiendo las mitades en mitades)
· El todo se conserva.

Payne (1976) añade otros atributos:

· Control simbólico de las fracciones, es decir, el manejo de símbolos relacionados con las fracciones.
· Las relaciones parte-todo en contextos continuos y discretos.
· Las fracciones mayores que la unidad
· Sudivisiones equivalentes.


El determinismo de la forma ha influido negativamente en la construcción del concepto de fracción, puesto que cuando se hace una partición, se busca que las partes sean congruentes en cuanto a la forma, como se puede ver en el gráfico que aparece a continuación:


La partición en partes iguales sin embargo se puede realizar de la siguiente forma:



Este tipo de representación provoca desequilibrio y por tanto suscita comentarios entre los estudiantes y nuevas acciones que llevan a justificar si la partición es justa o no. Esta introducción de anomalías a las regularidades ayuda a la argumentación.

Las estimaciones de tamaño, las relaciones de tamaño explicando el porqué por simple comparación visual, se constituyen en actividades exploratorias que llevan a descifrar la clase de conocimiento inicial de los estudiantes acerca de las fracciones.


LOS CAMBIOS DE REGISTRO EN LA ARITMÉTICA.


El paradigma reinante que trata a las matemáticas como un cuerpo objetivo de conocimientos y técnicas que se pueden transferir de una forma más o menos inalterada a las mentes de los alumnos receptivos ha llevado a Carpenter a afirmar que el conocimiento matemático no se adquiere a partir de alguna fuente externa, sino que es construido activamente por el niño.

El niño desde muy temprana edad, adquiere algunas nociones matemáticas como resultado de la interacción con el medio social, estas primeras nociones tienen que ver con el significado de la palabra "más" y es capaz de apreciar los efectos de las operaciones de suma y resta; así también es capaz de combinar dos o más grupos de objetos y luego combinarlos para luego determinar el número de objetos resultante de la combinación comenzando por el cardinal de uno de los conjuntos y contando sólo los objetos del segundo conjunto a partir de ahí, creando la estrategia de sumar, contando. También los niños descubren que es más rápido realizar el conteo empezando por el cardinal del conjunto más numeroso.

El conocimiento informal adquirido por el niño en su medio social es reemplazado luego por el conocimiento formal escolarizado como un sistema altamente organizado, codificado y escrito, desarrollado a lo largo de los siglos en contextos socio-culturales diferentes a los actuales y transmitido de una manera sistemática mediante la educación. Ante esta situación, los niños optan por realizar combinaciones de registros de representación mental generados en el ambiente informal de la vida cotidiana con registros de representación mental generados mediante el conocimiento formal presentado en la escuela.

Las reglas aplicadas a las operaciones, la mayoría de las veces, presentan un registro mental de memorización carente de significado y el sistema mental de generalizaciones las aplica en toda situación. Así cuando en la operación de resta memoriza la regla "siempre hay que restar el número menor al mayor", se presenta el siguiente error sistemático muy común en los niños de primaria.


Como ya se anotó el proceso de conteo de dos grupos de objetos por completación de la cardinalidad es una estrategia muy adecuada para la suma, pero muchas veces es abandona cuando tiene que aplicar el algoritmo de la suma; así la suma mediante conteo la realiza bien, pero cuando debe aplicar el algoritmo lo conduce a un error



35 + 18 = 413

Este error se presenta porque todavía el niño no tiene la representación mental del concepto de numeración decimal.


EL PROBLEMA DE LOS CAMBIOS DE REGISTRO EN EL ÁLGEBRA


El desarrollo histórico del álgebra sugiere que actualmente ésta se concibe como la rama de las matemáticas que trata la simbolización de relaciones numéricas generales y de estructuras matemáticas así como de la operación sobre esas estructuras.

Los temas típicos incluyen:

§ Propiedades de los números reales y complejos

§ El planteamiento y resolución de ecuaciones de primer y segundo grado en una incógnita

§ La simplificación de expresiones polinómicas y racionales

§ La representación simbólica de funciones lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, junto con sus gráficas

§ Sucesiones y series


El contenido del álgebra escolar ha cambiado poco. Al comienzo de este siglo los cursos iniciales de álgebra cubrían temas como:


§ Simplificación de expresiones

§ Planteo y resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas

§ Uso de tales técnicas para hallar respuesta a problemas

§ Práctica con razones, proporciones, potencias y raíces.


En las siguientes décadas se incluyeron aspectos prácticos y el uso de los métodos gráficos. Al comienzo de los años 60 se vio una brecha muy grande entre el álgebra escolar y las necesidades de ella en campos como la física nuclear, la exploración espacial, las comunicaciones y la tecnología computacional. Se crean entonces las nuevas matemáticas. Se incluyen las desigualdades y se hace énfasis en conceptos unificadores como conjunto y función a fin de enseñarlos de manera que su estructura y carácter deductivo fuera evidente.


Se mantiene el carácter estructural que era evidente a comienzos del siglo. Ejemplos de aspectos estructurales del álgebra superior tradicional incluyen: simplificación y factorización de expresiones; resolución de ecuaciones haciendo operaciones en ambos lados y manipulación de parámetros de ecuaciones funcionales tales como y = v+(x-h)3, para manejar familias de funciones.


El capítulo introductorio de la mayor parte de los textos enfatiza la aritmética. Las representaciones algebraicas se tratan como enunciados generalizados de las operaciones aritméticas; es decir que se trabaja en términos procedimentales en donde los valores numéricos se sustituyen por expresiones algebraicas para obtener resultados específicos. Sin embargo, una vez que se ha completado esta introducción, relativamente suave, las representaciones algebraicas empiezan a tratarse como objetos matemáticos sobre los cuales se ejecutan ciertas operaciones estructurales tales como combinar términos; factorizar o restar un término en ambos lados de una ecuación.


Se hace necesario realizar una distinción entre los términos procedimental y estructural. Procedimental, se refiere a las operaciones aritméticas que se hacen sobre números para obtener números. Estructural se refiere a un conjunto de operaciones que se hacen, no sobre números, sino sobre expresiones algebraicas.


Sfard (1991) ha sugerido que las nociones matemáticas abstractas pueden concebirse en dos formas fundamentalmente diferentes: estructuralmente (como objetos) y operacionalmente (como procesos). Ella asegura que para la mayoría de las personas la concepción operacional es el primer paso en la adquisición de nuevos conocimientos matemáticos. La transición desde una concepción de "proceso" hacia una concepción de "objeto" no se logra ni rápidamente ni sin esfuerzo. Una vez que ambas concepciones se han desarrollado, ellas juegan papeles muy importantes en la actividad matemática ulterior.


Existe una honda brecha ontológica entre las concepciones operacional y estructural. Ver una entidad matemática como un objeto significa ser capaz de referirse a ella como si fuese algo real, una estructura estática, que existe en algún tiempo y lugar. También significa ser capaz de reconocer la idea a primera vista y de manipularla como un todo sin requerir los detalles. En contraste, interpretar una noción como un proceso implica verla como una entidad potencial más que como una entidad real, que tiene existencia por ser consecuencia de una serie de acciones. Así, mientras que la concepción estructural es estática, instantánea e integradora, una concepción operacional es dinámica, secuencial y detallada.

La existencia de etapas históricas en las que conceptos como número y función han evolucionado desde la concepción operacional hasta la estructural le han sugerido a Sfard la creación de un modelo de tres fases paralelas del desarrollo conceptual.


En la primera fase, llamada de interiorización, se hace algún proceso sobre objetos matemáticos familiares. En la segunda fase, llamada condensación, el proceso o la operación se divide en unidades más manejables. La fase de condensación dura hasta que se concibe una nueva entidad únicamente en forma operacional. La tercera fase, llamada materialización involucra la habilidad repentina para reconocer algo familiar con una nueva perspectiva.

Mientras que la interiorización y la condensación son largas sucesiones de cambios cuantitativos y graduales más que cualitativos, la materialización parece ser un salto en el que el proceso se convierte en un objeto, en una estructura estática. La nueva entidad se desprende del proceso que la produjo. Por ejemplo, Sfard afirma:


"En el caso de las funciones la materialización puede evidenciarse por la habilidad de resolver ecuaciones en las cuales las incógnitas son funciones (ecuaciones diferenciales y funcionales, ecuaciones con parámetros); por medio de la habilidad para expresarse con respecto a propiedades generales de diferentes procesos realizados sobre funciones (tales como composición e inversión) y por último por el reconocimiento de que la computabilidad no es característica necesaria de los conjuntos de parejas ordenadas que se consideran como funciones.

De la misma forma que el proceso histórico puede verse como una evolución procedimiento-estructura, puede verse el álgebra escolar como una serie de

ajustes proceso-objeto que los estudiantes deben hacer a fin de comprender todo el aspecto estructural del álgebra. Ya se han discutido brevemente las adaptaciones que los estudiantes deben hacer cuando comienzan el estudio de las expresiones algebraicas y de ecuaciones: no pueden seguir interpretando estas entidades como operaciones aritméticas sobre algún número sino que más bien deben aprender muy rápidamente a verlas como objetos en sí mismos, sobre los cuales se realizan procesos de cierto nivel (es decir, operaciones). En otras palabras, los estudiantes deben darse cuenta pronto de que los objetos son los que están operando son expresiones algebraicas y no solamente números; además que las operaciones que se realizan son las de simplificación, factorización, racionalización del denominador, resolución o diferenciación de ecuaciones, etc, y no sumas, restas, multiplicaciones o divisiones. Tall (1989) ha anotado que 2(a+b) y 2a ± 2b se perciben como dos procesos diferentes. En el momento en que un estudiante es capaz de concebir una expresión algebraica como un objeto matemático y no sólo como un proceso, la manipulación algebraica puede representar, de acuerdo con Tau, un fuerte conflicto.


Otro ajuste que deben hacer quienes inician su estudio de álgebra, es aprender a manejar la estructura del álgebra; en particular que la representación simbólica de relaciones numéricas tiene que ver con la traducción de situaciones problemáticas a ecuaciones. Las ecuaciones algebraicas son representaciones estructurales que requieren una perspectiva no aritmética tanto en el uso del signo iguál (=) como en la naturaleza de las operaciones que se requieren. En los ejemplos que se presentan a continuación se muestra que el camino recorrido desde un punto de vista aritmético hacia uno algebraico puede interpretarse como un movimiento desde una concepción procedimental hasta una estructural.

En la escuela elemental, el signo igual se usa más para anunciar un resultado que para expresar una relación simétrica y transitiva: el signo es unidireccional. Considere el siguiente ejemplo:



Daniel visita a su abuelita. Ella le da $15.000. Luego él compra un libro que cuesta $32.000. Si aún le quedan $23.000, ¿cuánto dinero tenía antes de visitar a su abuelita?

Estudiantes de grado sexto lo resuelven de la siguiente forma:

23.000+32.000 = 55.000 – 15.000 = 40.000


Obsérvese que se violan la simetría y la transitividad de la relación de equivalencia. El signo igual se lee como "da" indicando una relación direccional, izquierda-derecha. El énfasis interpretativo que se da en álgebra al signo igual radica precisamente en respetar el carácter simétrico y transitivo de la igualdad (Vergnaud)

El ejemplo anterior ilustra también que los estudiantes obtienen sus respuestas trabajando "hacia atrás" usando secuencias lineales que involucran una cadena de operaciones inversas, usualmente sin formalización alguna de la situación del problema o del método de solución. En aritmética el objetivo es encontrar la respuesta, normalmente realizando algunas operaciones secuencialmente sobre números del problema o sobre resultados intermedios que se derivan de esas operaciones. En contraste, este método de "ir hacia atrás" que se usa en la aritmética, casi nunca se aplica en álgebra. Si se considera el siguiente problema


Una tienda de video ofrece 2 planes de alquiler. En el primero se pagan $22.500 por año más $2.000 por cada película que se alquile. En el segundo, la afiliación es gratuita, pero se cobra $3.250 por cada película que se alquile. ¿Para qué número de cintas alquiladas los dos planes cuestan lo mismo?


Filloy y Rojano (1984) han recalcado que ocurre una ruptura con problemas como los anteriores, los cuales se pueden modelar con ecuaciones del tipo


ax ± b = cx ± d.


Los estudiantes no sólo deben comenzar a pensar en términos de operaciones "hacia adelante" para efectos de modelar estos problemas con ecuaciones, sino que deben contar con un método de resolución que opere sobre ambos lados de la ecuación, es decir de un método que opere sobre un objeto algebraico.

Lesh, Post y Behr (1987) han distinguido la solución de problemas algebraicos de la solución de problemas aritméticos haciendo notar que en álgebra el problema requiere primero describir y luego calcular.


Sin embargo, es posible hacer descripciones tanto en términos estructurales como en términos procedimentales. Esta diferencia se muestra claramente en el problema

Profesor-Estudiante: Escribir una ecuación, usando las variables P y E, para representar la siguiente situación:

Hay seis veces más estudiantes que profesores en este colegio. Use E para el número de estudiantes y P para el número de profesores. En él se requiere escribir una ecuación en la que las letras se deben tratar como variables y el signo igual debe representar una equivalencia. Una variación de problema que implica una interpretación puramente procedimental es la siguiente.


Los estudiantes tiene mayor éxito con la aproximación procedimental (la cual requiere un algoritmo par obtener una cantidad) que con la estructural (que requiere una relación de igualdad entre variables). El ejemplo anterior sugiere que aun en el nivel superior, los estudiantes de álgebra pueden encontrar mayor significado en las representaciones procedimentales basadas en interpretaciones numéricas que en las representaciones estructurales.


Históricamente las representaciones procedimentales perduraron por varios siglos. Wheeler (1989) ha señalado que en el momento en que se desarrolló un lenguaje simbólico especializado, desapareció una cantidad considerable de significado subyacente. El álgebra retórica y lacónica eran relativamente fáciles de seguir y comprender, hasta el siglo XVI, cuando la notación comenzó a ser demasiado compleja para entenderse en palabras; el paso a un sistema simbólico eliminó los significados de ítems individuales y aún de las operaciones que actuaban sobre ellos. El lenguaje simbólico es poderoso porque elimina muchas de las distinciones que lo vernáculo preserva y expande en gran medida su aplicabilidad. Sin embargo, Wheeler recalca que el lenguaje simbólico es, desde el punto de vista semántico, extremadamente débil e introduce la dificultad para el estudiante de que al servir para varios contextos, el lenguaje parece no pertenecer a ninguno.


Para resumir, las demandas cognitivas que se imponen a los estudiantes de álgebra incluyen:

El tratamiento de representaciones simbólicas que tienen muy poco o ningún contenido semántico como objetos matemáticos y la operación sobre estos objetos con procesos que usualmente no arrojan resultados numéricos; la modificación de sus interpretaciones iniciales de ciertos símbolos, y la inducción a representar las relaciones de situaciones enunciadas en palabras con operaciones que frecuentemente son las inversas a las que ellos usaban casi automáticamente, para resolver problemas similares en la aritmética.

 

LOS CAMBIOS DE REGISTRO EN LAS MATEMÁTICAS


Se pretende en esta investigación estudiar los procesos de enseñanza/aprendizaje de los saberes matemáticos en los aspectos teórico-conceptuales y de resolución de problemas y los factores que condicionan dichos procesos; tratando de determinar en primera instancia el significado que los estudiantes atribuyen a los términos y símbolos matemáticos, a los conceptos y proposiciones, como una forma de indagar la manera como se hacen los registros de los objetos matemáticos y además cómo se suceden los cambios de registro.


Sierpinska[102] (1990), afirma con respecto al significado de los objetos matemáticos:

Comprender el concepto será entonces concebido como el acto de captar significado. Este acto será probablemente un acto de generalización y síntesis de significados relacionados a elementos particulares de la estructura del concepto (la estructura es la red de sentidos de las sentencias consideradas en el concepto).

Estos significados particulares tienen que ser captados en actos de comprensión.


La preocupación por el significado de los términos y conceptos matemáticos lleva directamente a la indagación sobre la naturaleza de los objetos matemáticos.


Se quiere resaltar la visión de los objetos matemáticos como símbolos de unidades culturales, cuyo carácter sistémico y complejo no puede ser descrito únicamente mediante definiciones formales, cuando hay un interés por su enseñanza y aprendizaje.

Chevallard[103] (1991) define un objeto matemático como "un emergente de un sistema de prácticas donde son manipulados objetos materiales que se desglosan en diferentes registros semióticos: registro de lo oral, palabras o expresiones pronunciadas; registro de lo gestual; dominio de la inscripción, lo que se escribe o dibuja (grafismos, formulismos, cálculos, etc.), es decir, registro de lo escrito". Llama praxema a los "objetos materiales ligados a las
prácticas" y usa esta noción para definir el objeto como un "emergente de un sistema de praxemas".

Del lenguaje natural al registro matemático.
Se presentan confusiones cuando el profesor emplea términos relacionados con las matemáticas y el estudiante los interpreta de acuerdo con el lenguaje natural, tratando de emplear significados no matemáticos en contexto matemático.



Es preciso el concepto de registro como un concepto de la lingüística y que Halliday[104] (1975) describe como “conjunto de significados apropiado para una determinada función del lenguaje, con las palabras y estructuras que expresan estos significados”


El mismo Halliday[105] aclara “no debemos pensar que un registro matemático consista sólo en aspectos de terminología, o en el desarrollo de un registro como un simple proceso de adición de palabras nuevas”.


Un registro matemático utiliza palabras especializadas muy difíciles de encontrar en un contexto diferente al de las matemáticas como son: cuadrilátero, paralelogramo, hipotenusa, multiplicando.


O se toman palabras prestadas que corresponden al lenguaje natural como: lado, grado, relación, potencia, radical, racional, natural. Esta palabras reciben una atribución de significado especializado para ser usadas en contexto matemático.


Hay registros matemáticos que se siguen empleando aunque el soporte psicológico proporcionado por una determinada imagen deje de ser válido porque pierde el referente cotidiano como sucede con el término “en el sentido de las agujas del reloj”. Esta expresión se usa con el mismo significado cotidiano y ha sido adoptado por la dinámica, el electromagnetismo, y la geometría.


Naturaleza del registro matemático. Con respecto a la naturaleza del registro matemático afirma Halliday [106].

Podemos hablar de un «registro matemático» en el sentido de los significados que pertenecen al lenguaje de las matemáticas (el uso matemático del lenguaje natural, o sea: no matemático de por sí), y de lo que un lenguaje debe expresar si se utiliza con fines matemáticos... No debemos pensar que un registro matemático consista sólo en aspectos de terminología, o en el desarrollo de un registro como un simple proceso de adición de palabras nuevas.


Mediante la utilización de registros matemáticos pueden desarrollarse discursos sobre las ideas, objetos y procesos matemáticos


El desarrollo de los registros matemáticos se realiza a través del tiempo produciendo acceso a significados a través del lenguaje


Según Halliday[107] (1975), la expansión de un registro consiste en la acuñación de términos especializados y la invención de palabras nuevas.


El uso de las preposiciones puede generar significados diferentes; como en el teorema de Pitágoras no significa lo mismo


“El cuadrado de la hipotenusa” (1)
“El cuadrado sobre la hipotenusa” (2)


En el caso 1, el uso de la preposición de, hace significar a la hipotenusa como una magnitud y el teorema de Pitágoras se interpreta como una relación entre números.


En el caso 2, la preposición sobre, conlleva al significado de un cuadrado construido sobre la hipotenusa y por lo tanto el teorema de Pitágoras significaría una relación entre cuadrados.

También se puede presentar una variación de la categoría y función gramaticales al ser tomado del habla normal. Esto se puede ver en el uso de las palabras que designan los números en los siguientes casos:


El dos tomado como adjetivo: dos libros, el número dos es par y primo. Los numerales también pueden ser usados como predicados: cuatro es potencia de dos.



En registros matemáticos correspondientes a las fracciones, se puede encontrar otros ejemplos de variación de categoría gramatical. Así la expresión gramatical dos quintos, puede analizarse como sintagma nominal como en los siguientes casos: dos quintos es menor que tres quintos, dos quintos está entre cero y uno.


Los fraccionarios como objetos matemáticos dan cuenta de una riqueza conceptual porque tres quintos puede ser visto como un objeto singular y por lo tanto es visto como un número; también puede ser visto como un conjunto de números, varios (o sea, tres cosas); además se percibe como una operación en la cual hay que dividir 3 entre 5.



Los operadores gramaticales como y, o y no constituyen términos problemáticos debido a la influencia del registro matemático. Sobre el habla castellana Stubbs[108] (1984) la llama visión pseudo-algebraica del lenguaje como la doble negación “yo no se nada” en la cual se incluyen indicadores negativos dobles.


En el lenguaje usual se unen conjuntivamente dos o más proposiciones, cuando hay entre ellas cierta afinidad quedando descartados usos como: Bogotá es la capital de Colombia y el café colombiano es un estimulante.


La lógica sin embargo, no está sujeta a esta limitación idiomática debido a la visión pseudo-algebraica del lenguaje Stubbs[109] (1984), porque en la lógica basta que dos proposiciones sean verdaderas para que puedan ser unidas conjuntivamente, vaciando a las proposiciones de su contenido.


La conjunción de dos o más proposiciones, se hace en lógica mediante la partícula de enlace “y” pero nuestro lenguaje natural es más rico, porque ésta partícula también se puede expresar mediante las palabras ...igualmente, ...también.., ... del mismo modo...,...mientras que...,...pero..., ...mas, sin embargo,,, , ...no obstante...,... a pesar de..., ...pese a que...,...tampoco...

En el lenguaje natural presenta otras dificultades para ser traducida al lenguaje formal, porque con frecuencia además de unir dos proposiciones tiene sentido temporal o indica sucesión, por lo tanto, no se puede variar el orden de las proposiciones en lenguaje natural.


Si se dice: tuvieron dos hijos y se casaron, no es lo mismo que decir: se casaron y tuvieron dos hijos, por lo tanto cambia el significado; mientras que éste cambio se puede hacer perfectamente en la lógica matemática.
La famosa frase “vino, vio, venció” perdería su significación si ordenáramos las palabras de otra forma. Estas palabras también pueden ser usadas como nombres esto se puede observar en la proposición: Tres es un número impar.


La solución de problemas. Es común encontrar, en la solución de problemas que basta trasladar los términos verbales a los numéricos y luego relacionarlos mediante la operación que corresponda, esto implica una creencia en la que se considera que el niño no necesita hacer una representación mental de los elementos del problema.


Este modelo de traslación directa tan difundido en las aulas escolares intentaba dar cuenta de una perspectiva conductista, la cual consistía en dos supuestos básicos: La traslación directa, por la cual los elementos del problema como son: las cantidades, relaciones entre ellas y expresiones verbales, se aplican directamente a una de las operaciones conocidas por el estudiante;el cálculo, en el cual se aplica la operación requerida, a dichos elementos.



Este modelo persistente aún en nuestras aulas escolares emplea las «palabras clave» como una ayuda didáctica para lograr el cambio de registro, constituyéndose en un método de resolución de problemas que determina unas acciones estrechamente unidas a dichas palabras clave y no se tiene la posibilidad de saber, si el estudiante comprendió e interpretó realmente el problema.


Comprender un problema consiste en representarse internamente sus cantidades y la equivalencia final entre las acciones ejercidas y el resultado de las mismas, comprender es además interpretar dicha representación.


Se puede decir entonces que en la solución de un problema, se puede contar con las características superficiales del mismo como es la traducción de, palabras clave, a símbolos y las estructuras profundas, las cuales se refieren a la interpretación y comprensión del problema están asociadas con la construcción de representaciones internas del problema; por lo tanto, se debe hacer énfasis en la construcción de una metodología adecuada que permita el paso de las características superficiales del problema a las estructuras profundas.


Los procesos metodológicos que impiden este paso, están relacionados con tres aspectos básicos los cuales se constituyen en fuente de obstáculos epistemológicos como son:
· La interpretación de la resolución de un problema, como una actividad de aplicación de un teoría previamente explicada, este metodología consiste en:
a. Se inicia con material manipulativo.
b. Se representan gráficamente las cantidades empleadas, mediante diagramas, gráficos u otros.
c. Junto a los gráficos y diagramas se colocan los símbolos numéricos tanto de cantidades, como de operaciones a ser efectuadas
d. Se ejercitan diversas operaciones de modo exclusivamente simbólico.
e. Se plantean problemas elementales cuya solución exija la operación o concepto recién aprendido.


Como se puede ver la metodología tradicional supone que el estudiante, no dispone de estrategias previas para resolver un problema o éstas no son adecuadas.


También se afirma que las estrategias con que cuenta el estudiante son muy limitadas e influenciadas por el contexto del problema y difícilmente pueden conducir a una generalización

Hasta aquí se puede concluir como dice Blanco (1991) que “ la resolución de problemas tiene dos direcciones como justificación y/o aplicación de los conocimientos aprendidos y otra como motor de conocimiento”.


Este modelo de “traslación directa” desde una perspectiva conductista no puede dar cuenta de los procesos complejos del pensamiento que permitan resolver todo tipo de problemas.


Las teorías del procesamiento de información encontraron en el campo computacional un lenguaje y una estructura conceptual para la formulación de modelos de pensamiento. Desde esta perspectiva el aprendizaje no es visto como la adquisición de nuevas conductas, sino como la adquisición de conocimiento, por lo tanto se presta atención a hechos matemáticos y lingüísticos, como también al lenguaje algorítmico y es complementado con el conocimiento estratégico.


Entre las diferentes teorías que han emergido de la teoría cognitiva, respecto a la solución de problemas se pueden citar:

· El modelo de Newell y Simon[110] (1972). En primer lugar este modelo se ocupa del enunciado del problema, el cual para ser Interpretado necesita de un contexto cultural, la estrategia de solución no debe ser obvia, además el problema debe estar bien definido.


Este modelo tiene que ver con:
La construcción del espacio del problema, cuando el resolutor del problema lee el enunciado, interpreta el lenguaje con el fin de construir su representación interna la cual está formada, según éste modelo, por “un conjunto de nodos”, cada nodo representa un posible estado de conocimiento, es decir, lo que sabe el resolutor del problema consiste en la elección de un nodo acertado o nodo base que desencadene de manera serial las acciones necesarias para la solución del problema.



Como cada nodo está sustentado, se puede ver en éstas teorías cognitivas que el sistema de procesamiento está integrado básicamente, por dos tipos de memoria, la memoria a corto plazo o memoria activa o de trabajo, donde se considera reside la representación interna del problema. Este tipo de memoria se la considera activa porque sus contenidos reciben distintas acciones que los transforman, esta transformación es realizada mediante dos hechos: las acciones externas generadas por el enunciado del problema y la relación que tiene con la memoria a largo plazo donde están almacenados los contenidos más permanentes y es de capacidad ilimitada. De la interacción entre los dos tipos de memoria, surgen estrategias las cuales son valoradas utilizando los nuevos nodos alcanzados con cada una de ellas en el sentido de si proporcionan información relevante que conduzca a la solución del problema. Se puede decir que la representación interna del problema cambia constantemente, en la medida que surgen nuevas estrategias y por lo tanto la generación de nuevos nodos de conocimiento.


Esta teoría deja abiertos muchos interrogantes relacionados con el papel desempeñado por la conciencia, referente a ella se pueden realizar las siguientes preguntas: ¿quién construye la representación interna?, ¿quién selecciona estrategias?, ¿quién recupera información de la memoria a largo plazo?. Respecto a estos interrogantes por resolver De Vega (1982), en su libro “la metáfora del ordenador” comenta “...la conciencia no es tratada con justicia por la metáfora computacional. Algunas de las propiedades de la conciencia, como la generación de planes, el control de la conducta o imágenes mentales, son reductibles al lenguaje del procesamiento. Pero muchas otras facetas como el componente cualitativo o experiencial del conocimiento no tienen significado desde la perspectiva funcionalista de la mente”

· Los marcos conceptuales. Regine Douady[111] (1986), introduce la noción de marco conceptual, en el siguiente sentido:

Digamos que un marco está constituido por objetos de una rama de las matemáticas, por las relaciones entre los objetos, por sus formulaciones eventualmente diversas y por imágenes mentales asociadas a estos objetos y sus relaciones.

Estas imágenes juegan un papel esencial en su funcionamiento como útiles, de los objetos del marco, como una noción dinámica. El cambio de marcos es un medio para obtener formulaciones diferentes de un problema, que sin ser necesariamente equivalentes, permiten un nuevo acercamiento a las dificultades encontradas y la puesta en escena de útiles y técnicas que no se impusieron en la primera formulación.


El “juego de marcos”, tiene que ver con el cambio de marcos propuesto por el docente para hacer avanzar las fases de investigación de un problema.

En el desarrollo de este juego se distinguen tres fases:
· Transferencia e interpretación
· Correspondencias imperfectas
· Mejoramiento de la correspondencia y progreso del conocimiento.


Los distintos escenarios donde se puede dar solución a un problema, son ejemplos de marcos; así se puede hablar del marco algebraico, numérico y geométrico. Cuando se aplica el juego de marcos se propone a los alumnos resolver un cierto problema o una cierta ecuación en un cierto marco y traducirlo (todo o parte de éste) a otro (transferencia e interpretación). La correspondencia entre los marcos en general es imperfecta, ya sea por causa matemática o por conocimientos insuficientes de los estudiantes. Esta situación es fuente de desequilibrio, a su vez la comunicación entre los marcos y, en particular, la comunicación con un marco auxiliar de representación es un factor de reequilibración. Eso conduce al mejoramiento de las correspondencias y al progreso del conocimiento.


En la solución de una ecuación por ejemplo, “inducir la solución” requiere, en principio, de la articulación de las diferentes representaciones (algebraicas y gráficas) y además debe conocer un método de solución.


Según Hitt [112] (1978) la inteligencia se construye en la medida donde la experiencia nueva no viene simplemente a añadirse al conocimiento anterior sino provoca una reorganización, una reestructuración del conocimiento en una totalidad coherente. El progreso está, por tanto, ligado a la presencia de un conflicto (una contradicción entre el objeto y los esquemas utilizados para aprenderlo.


La psicología cognoscitiva sostiene que lo que se aprende debe ser racional y estructurado: el problema principal al cual se enfrenta el estudiante consiste en relacionar un orden exterior con un orden interior a esto se le denomina “cultivo de la racionalidad” según la epistemología-psicológíca.


Sostiene Guy Brosseau[113] (1991), Observamos en los docentes dos conductas características: por una parte, si los alumnos fracasan el docente tiende a proveer una “nueva oportunidad” (plantea “un problema igual al viejo”) y en consecuencia, la solución se obtiene por la repetición y no por la comprensión. Por otra parte, el docente debe estar consciente que el proceso didáctico sufre también de “envejecimiento” que se observa en la repetición de los mismos procedimientos didácticos y que éstos no tienen el mismo efecto.


Visualización en matemáticas.


Las ideas, conceptos y métodos de las matemáticas presentan una gran riqueza de contenidos visuales, representables intuitivamente, geométricamente, cuya utilización resulta muy provechosa, tanto en las tareas de presentación y manejo de tales conceptos y métodos como en la manipulación con ellos para la resolución de los problemas.

Los expertos poseen imágenes visuales, modos intuitivos de percibir los conceptos y métodos, de gran valor y eficacia en su trabajo creativo y en su dominio del campo en que se mueven. Mediante ellos son capaces de relacionar, de modo muy versátil y variado, constelaciones frecuentemente muy complejas de hechos y resultados de su teoría y a través de tales redes significativas son capaces de escoger de manera natural y sin esfuerzo, los modos de ataque más eficaces para resolver los problemas con que se enfrentan.

Las ideas básicas del análisis elemental, por ejemplo orden, distancia, operaciones entre números, nacen de situaciones bien concretas y visuales. Todo experto conoce la utilidad de atender a tal origen concreto cuando quiere manejar con destreza los objetos abstractos correspondientes. Lo mismo sucede con otras partes aparentemente más abstractas de la matemática.

Esta forma de actuar con atención explícita a las posibles representaciones concretas en cuanto develan las relaciones abstractas que al matemático interesan constituye lo que se denomina visualización en matemáticas. Las matemáticas tratan de explorar las estructuras de la realidad que son accesibles mediante ese tipo de manipulación especial que llamamos matematización, que se podría describir como sigue. Se da inicialmente una percepción de ciertas semejanzas en las cosas sensibles que nos lleva a abstraer de estas percepciones lo que es común, abstraíble, y someterlo a una elaboración racional, simbólica, que nos permita manejar más claramente la estructura subyacente a tales percepciones.

La aritmética, por ejemplo, surge del intento de dominar la multiplicidad presente en la realidad, con la geometría se trata de explorar racionalmente la forma y la extensión, el álgebra se ocupa de explorar, en una abstracción de segundo orden, las estructuras subyacentes a los números y a las operaciones entre ellos, es una especie de símbolo del símbolo, el análisis matemático nació con la intención de explorar las estructuras del cambio y de las transformaciones de las cosas en el tiempo y en el espacio.

Nuestra percepción es muy prioritariamente visual y así no es de extrañar en absoluto que el apoyo continuo en lo visual esté tan presente en las tareas de matematización, no sólo en aquellas que, como la geometría, se refieren más directamente a la exploración específica de aspectos del espacio, sino también en otras, como el análisis, que nacieron para explorar los cambios de los objetos materiales en sí mismos y en sus aspectos espaciales.

Y aun en aquellas actividades matemáticas en las que la abstracción parece llevarnos mucho más lejos de lo perceptible por la vista, los matemáticos muy a menudo se valen de procesos simbólicos, diagramas visuales y otras formas de procesos imaginativos que les acompañan en su trabajo haciéndoles adquirir lo que se podría llamar una intuición de lo abstracto, un conjunto de reflejos, una especie de familiaridad con el objeto que les facilita extraordinariamente algo así como una visión unitaria y descansada de las relaciones entre objetos, un apercibimiento directo de la situación relativa de las partes de su objeto de estudio.

La visualización aparece así como algo profundamente natural tanto en el nacimiento del pensamiento matemático como en el descubrimiento de nuevas relaciones entre los objetos matemáticos, y también, naturalmente, en la transmisión y comunicación propias del quehacer matemático.

Nuestra visualización, la visualización humana, incluso el mero fenómeno que llamamos "visión" en su sentido más físiológico, no es un proceso que meramente haga relación a los procesos ópticos de nuestros ojos. Es un proceso mucho más complejo que involucra, y de forma mucho más importante, el cerebro humano. En el niño que acaba de nacer y abre sus ojos tiene lugar un fenómeno tal vez mucho más cercano al que se realiza en una cámara fotográfica, pero los procesos cerebrales subsiguientes hacen que, después de muy poco tiempo, tras la experimentación con los objetos que ha ido viendo, el niño convierta su visión en una verdadera interpretación del puro fenómeno óptico que en su aparato visual se produce.

Los fenómenos de visualización de los cuales se va a hablar llevan consigo una carga de interpretación mucho más honda todavía. En muchas de las formas de visualización que vamos a experimentar se trata de un verdadero camino de codificación y descodificación que está inmerso en todo un cúmulo de intercambios personales y sociales, buena parte de ellos arraigados profundamente en la misma larga historia de la actividad matemática. Esto implica que la visualización sea un proceso que hay que aprender en la interacción con las personas a nuestro alrededor y en la inmersión e inculturación en el tejido histórico y social de la matemática.

La visualización no es una visión inmediata de las relaciones, sino una interpretación de lo que se presenta a nuestra contemplación que solamente podremos realizar eficazmente si hemos aprendido a leer adecuadamente el tipo de comunicación que la sustenta.



Probablemente el novicio que mira con atención esta figura ve, con suerte, dos cuadrados iguales que se han diseccionado de dos formas distintas y será capaz tal vez de comprender, a través de las indicaciones escritas, que el cuadrado sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo que ha resultado, que parece ser copia de los otros que aparecen en diversas posiciones en la figura tiene un área igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los dos catetos. Para llegar de ahí al teorema de Pitágoras será necesario que se pueda cerciorar de que efectivamente los triángulos que resultan son iguales y que esa misma situación se puede dar para cualquier triángulo rectángulo, es decir es una situación genérica.

La pretendida absoluta inmediatez ante la anterior disección o alguna de las otras disecciones clásicas que tratan de poner de manifiesto el teorema de Pitágoras no deja de ser hasta cierto punto engañosa, pues todas ellas necesitan una labor de descodificación en la que es necesario introducir al no iniciado.

Esta consideración es una de las razones profundas de que la iniciación a la visualización, por ejemplo en la enseñanza, sea una tarea nada fácil ya que requiere muy esencialmente la conciencia clara de quien la transmite de que la transparencia del proceso, tal vez real para él mismo por razón de la familiaridad adquirida con la práctica a lo largo del tiempo, puede ser inexistente para el que comienza a adentrarse en este tipo de proceso.

Pero la presencia de este ejercicio de descodificación en cualquier visualización pone en claro lo que más interesa destacar ahora. Que la visualización matemática no va a ser un término unívoco ni mucho menos. Según el grado de correspondencia, más o menos cercana, más o menos natural, simbólica, incluso más o menos comunicable o privada, entre la situación matemática que tratamos de visualizar y la forma concreta que empleamos para hacerlo van a existir muy distintas formas de visualización.

· Visualización analógica. Se sutituyen mentalmente los objetos con los que se trabaja por otros que se relacionan entre sí de forma análoga y cuyo comportamiento resulta más conocido por haber sido mejor explorado.

La visualización o modelización analógica era un método de descubrimiento usual en Arquímedes, tal como afirma él mismo en el tratado Sobre el Método dedicado a su amigo Eratóstenes. Son muchos los descubrimientos espectaculares debidos a Arquímedes, tales como el cálculo del volumen de la esfera, que fueron obtenidos a través de analogías y experimentos de pensamiento de naturaleza mecánica.

El ejemplo siguiente, ilustra esta forma de trabajo adecuadamente.
Se trata de determinar un cuadrilátero plano de área máxima cuyos lados tengan longitudes prefijadas a, b, c, d, en el orden indicado. (Se supone que las longitudes dadas son tales que existe algún cuadrilátero con esta propiedad).

El problema físico que puede proporcionar la solución a este problema es el siguiente. Se dan cuatro varillas que forman un cuadrilátero plano articuladas en los extremos de modo que se mantienen todas en un plano. Se forma una película de jabón en su interior. La posición de equilibrio de las varillas es tal que la superficie de la película de jabón (área del cuadrilátero) es máxima (tensión superficial de la película mínima). Esta posición de equilibrio resolverá por tanto nuestro problema.
Las fuerzas que actúan sobre el sistema se reducen a cuatro fuerzas en el plano del cuadrilátero perpendiculares a sus lados aplicadas en los puntos medios de éstos con una intensidad proporcional a la longitud del lado correspondiente.

No es difícil ver que el equilibrio se alcanza cuando las cuatro mediatrices concurren, es decir cuando el cuadrilátero es inscriptible. Queda así demostrado que entre todos los cuadriláteros con longitudes de sus lados prefijadas el inscriptible es el de área máxima.

La visualización analógica no debería ser un escándalo para ningún matemático. Bastaría para ello pensar en que nada menos que Arquímedes la usaba en su trabajo tan frecuentemente y contemplar la belleza de la idea, también analógica, de Johann Bernoulli en su solución del problema de la braquistócrona. Pero es que incluso el formalista más puro debería considerar que los campos en los que se establece la analogía que resuelve el problema son en muchos casos susceptibles ellos mismos de la formalización más rigurosa, si eso es lo que le satisface.

· Visualización diagramática. Los objetos mentales y sus relaciones, en los aspectos que nos interesan, son meramente simbolizados de manera que los diagramas así obtenidos nos ayuden en nuestro procesos de pensamiento alrededor de ellos. A veces se podría decir que estos procesos vienen a asemejarse a reglas nemotécnicas. Los diagramas en árbol que usamos en combinatoria o probabilidad así como otros mucho más personales que cada uno se construye, son de esta naturaleza.

Tales simbolizaciones y diagramas pueden resultar de aceptación muy extendida y convertirse en una herramienta de uso generalizado en ciertos ambientes o bien a veces son de uso más personal, individual, subjetivo, a veces intransferible, otras veces transferible pero no transferido, unas veces por la dificultad intrínseca a tal comunicación, otras veces por la creencia de que tal modo de ver las cosas "me es útil a mí pero a nadie más", otras por la convicción, en mi opinión errónea, de que tales procesos "son andaderas que deben desterrarse ya que lo que verdaderamente vale es la formalización a la cual hay que aspirar en matemáticas".

Por mi parte pienso que la experiencia del éxito de los que son buenos transmisores del quehacer matemático demuestra que sus logros se basan muy frecuentemente en el esfuerzo que ponen por transmitir y hacer partícipes a los otros no solamente de los resultados a los que en el campo se llega, sino también de los procesos por los cuales se ha podido acceder a ellos.

Cuando uno examina los escritos de Euler, por ejemplo, se da cuenta de esta gran cualidad expositiva de uno de los genios de la matemática.

Es claro que la diferenciación entre todas estas formas de visualización señaladas no es exhaustiva ni es tampoco tan nítida que permita encasillar con exactitud los muy diferentes tipos de procesos semejantes que se pueden presentar.
[102] GODINO, Juan D y BATANERO, Carnem. el análisis del significado de los objetos matemáticos como área prioritaria de investigaciónen educación matemática.1998. p.

[103] Ibid. p.11
[104] PIMM, David. El lenguaje matemático en el aula. Madrid; Ediciones Morata, 1990. p. 116
[105] Ibid. p. 116
[106] Ibid. p.117
[107] Ibid. p.118
[108] Ibid p. 123
[109] Ibid p. 123
[110] BEST, John B. Psicología cognoscitiva. 5 ed.México, Thomson Editores. 2002. p. 444
[111] DOUADY, Regine. La didáctica de las matemáticas en la actualidad. Documento de trabajo, ingeniería didáctica I área de educación matemática. Universidad del Valle. P. 29
[112]
[113] BROSSEAU, Guy. ¿Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de la didáctica de las matemáticas?. Francia, IREM, universidad de Bordeaux I. p.17

DEL OBJETO A LA PALABRA


Cuando se habla de concepto se puede pensar a su vez en el objeto y la palabra.

Para la filosofía escolástica[46], el objeto es un término, fin o causa final, cuando se habla de causa se debe pensar en el sentido de transmisión de propiedades de una cosa a otra según cierto principio. La causa permite la explicación, el fundamento, la finalidad del objeto; los presocráticos hicieron uso de la causa cuando trataban de explicar el origen, principio y razón del mundo físico; Así los pitagóricos consideraron los números y figuras geométricas como causas, pero estas causas son consideradas como formales o modelos. Platón[47] estimó que toda existencia posee su causa, pero hizo una distinción entre causas primeras o causas inteligibles como lo son las ideas y causas segundas o causas sensibles y eficaces que son las de las realidades materiales insensibles. Además consideró las causas primeras como modelos o atracciones y por lo tanto el principio de causalidad se basa en la perfección. Influenciado por las afirmaciones de Galileo cuando sostiene que la naturaleza está escrita en el lenguaje de las matemáticas y los caracteres de ese lenguaje son triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin los cuales es imposible comprender una sola palabra de él, Platón[48] en su libro séptimo de la republica le propone a Sócrates el estudio de la astronomía a partir del número y de las figuras geométricas y plantea que para comprender los astros son necesarios el entendimiento y el pensamiento; Sócrates afirma que el dialéctico es el que conoce la razón de la esencia de cada cosa, y un hombre que no tiene inteligencia de una cosa no puede dar razón de ella ni así mismo ni a los demás. La dialéctica según Platón[49] permite reunir los objetos desde un punto de vista general. El mismo Platón sugirió en el Timeo que los cinco elementos – cuatro terrestres y uno celeste – pueden ser correlacionados con los cinco sólidos regulares Tetraedro (fuego), Cubo (tierra), Octaedro (aire), Icosaedro (agua), Dodecaedro (materia celeste). El filósofo pitagórico cree que las relaciones matemáticas a las que se ajustan los fenómenos constituyen explicaciones de por qué las cosas son como son, por esta razón explica que el tetraedro representa el fuego porque este es el sólido regular con los ángulos más agudos y porque el fuego es el más penetrante de los elementos. Asignó al cubo la tierra porque voltear un cubo sobre su base cuesta más esfuerzo que voltear cualquier otro de los tres sólidos restantes y porque la tierra es el más sólido de los elementos. Además sugirió que las transformaciones entre agua, aire y fuego provienen de una “disolución” de cada cara triangular equilátera de los sólidos regulares respectivos en seis triángulos de 30º, 60º y 90º. En conclusión, los filósofos de tradición pitagórica creen que en la naturaleza existen relaciones matemáticas que pueden ser descubiertas por la razón. Se puede ver de una manera explícita una “teoría de objetos”, la cual divide al mundo en “mundo sensible” y en un “mundo inteligible”.

Los atomistas[50] explican los preceptos como consecuencia del movimiento de los átomos porque este permite la experiencia de los colores, olores y sabores, sin este movimiento no existiría la experiencia perceptual porque los átomos en sí mismos tienen sólo las propiedades de tamaño, forma, impenetrabilidad y movimiento y la propensión a combinarse y asociarse de diversos modos. En conclusión, los atomistas atribuían los cambios fenoménicos a la asociación y disociación de átomos; ésta postura influyó más tarde en Newton quien afirma que los cambios macroscópicos son causados por cambios sub-macroscópicos. Otro aspecto importante de destacar en el pensamiento atomista es la reducción de los cambios cualitativos del nivel macroscópico a cambios cuantitativos en el nivel atómico.

Santo Tomás[51], como representante fundamental de la escolástica, plantea que el “objeto” es aquello sobre lo cual cae un poder o condición

Kant[52] distinguió entre la materia y la forma de la experiencia cognoscitiva, según este filósofo, las impresiones sensibles constituyen la materia prima del conocimiento empírico, pero el propio sujeto cognoscente es quien organiza, estructura y relaciona esta materia prima.


Una estructura conceptual se encuentra en íntima conexión con las situaciones y las representaciones dentro de lo que se denomina el triángulo epistemológico constituido por el objeto, el signo y el concepto y el sujeto epistémico guía y desarrolla las relaciones entre los elementos de ese triángulo




La modalidad de pensamiento denominada por Bruner[53] lógico-científica trata de ajustarse al ideal de un sistema matemático formal de descripción y explicación. Por esta razón emplea la categorización o conceptualización y las operaciones por las cuales las categorías se establecen, se representan, se idealizan y se relacionan entre sí con el fin de constituir un sistema. Entre sus conectivos figuran en el aspecto formal, la conjunción y la disyunción, la hiperonimia, la implicación estricta y los mecanismos por los cuales se extraen proposiciones a partir de enunciados de contextos particulares.


El hiperónimo es una palabra cuyo significado abarca al de otras que se conocen como hipónimos, así el término cuadrilátero (hiperónimo) abarca a todos los hipónimos como: cuadrado, rectángulo y trapecio; el hiperónimo polígono abarca los hipónimos: triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono y otros.


El lenguaje está regulado por requisitos de coherencia y no contradicción. Su ámbito está definido no sólo por entidades observables a las cuales se refieren sus enunciados básicos, sino también por la serie de contextos que pueden generarse lógicamente y verificarse frente a las entidades observables; es decir, está dirigida por hipótesis de principios.


Cuando se organizan las categorías, se averiguan los rasgos definitorios de cada una de ellas, a cada elemento de una categoría el sujeto le identifica las propiedades que lo hacen perteneciente a tal o cual concepto. Cuando se quiere que el sujeto cognoscente categorice, se lo debe considerar como un sujeto activo y resolutor de problemas, es importante tener en cuenta la introspección del individuo, se hace por lo tanto necesario analizar las estrategias consideradas como largas secuencias de actos, que se organizan en función de pautas globales de respuesta a lo largo de muchos ensayos.


Es importante anotar que cuando se forman los conceptos se forman a la vez las categorías, la teoría de redes proveniente del área de la inteligencia artificial representan un concepto por un nudo no analizado y las relaciones entre ellos por vínculos que al unirlos forman una red; la ubicación del nudo determina el significado. La principal utilidad de las redes semánticas tiene que ver con las relaciones de tipo taxonómico entre los conceptos de los objetos, utilizando los vínculos “es un” y “tiene la propiedad”.



Se pueden considerar como estrategias, las propuestas por Bruner[54] en sus investigaciones como son: la estrategia de exploración sucesiva, en la que el sujeto adopta una hipótesis única y limita sus opciones a los casos que ponen a prueba directamente dicha hipótesis; la focalización conservadora, en la cual tras encontrar un caso positivo, se propone una serie de opciones, cada una de las cuales modifica el valor de un único atributo denominado “focal”, probando si este cambio da por resultado un caso positivo o negativo; el enfoque cambiante, en que el sujeto utiliza en primer lugar un caso positivo como foco, pero luego emprende el riesgo calculado de modificar más de un atributo por vez, el enfoque cambiante permite establecer el concepto mucho más rápidamente que la focalización conservadora, pero también exige un mayor número de ensayos adicionales si la opción que se ha escogido no da resultado.


Otro proceso importante en la formación del pensamiento lógico-científico es la inferencia[55] mediante el cual se llega a una idea de lo desconocido, sobre la base de datos conocidos. La inferencia puede darse a partir de la consideración de hechos establecidos, hechos observados y la presencia de determinadas condiciones. La inferencia representa un salto más allá de lo dado y de lo preestablecido, pero las sugerencias dependen de la experiencia previa del sujeto y ésta a su vez de la cultura de la época; las sugerencias también dependen de las preferencias, los deseos los intereses y del estado emotivo del sujeto.


Toda inferencia necesita una prueba, por tal razón, el acto de inferir requiere un control el cual es ejercido en el acto de probar. Una forma de probar se hace mediante las excepciones que confirman o no una determinada regla; hay necesidad de colocar ejemplos extremos que ponen a prueba la aplicabilidad de lo inferido. Lo más importante, por lo tanto, es la verificación de la inferencia y en esta es preciso establecer la diferencia entre una creencia que descansa en una evidencia comprobada de aquella que no cumple ésta.


La comprobación[56] transforma en actividad reflexiva los pensamientos. Hay dos clases de comprobación: cuando las inferencias sugeridas se comprueban en el pensamiento para ver si hay coherencia entre los diversos elementos que constituyen la sugerencia y una vez adoptado uno se verifican mediante la acción con el fin de comprobar si las consecuencias anticipatorias tienen lugar en la realidad; el otro tipo de comprobación tienen que ver con la coherencia o consistencia la cual se hace directamente mediante la acción.


Es de anotar que la motivación de las sugerencias que constituyen la inferencia surgen de una situación y si la situación no es actual, el pensamiento ha rastreado una situación vivida, el maestro por lo tanto debe valerse de las situaciones ya vividas o experimentadas. Las situaciones deben brindar a la mente una inquietud, una dificultad y entonces mediante la función reflexiva de la mente se produce una nueva situación en la cual la dificultad encuentra solución, produciéndose una disipación de las confusiones iniciales o de los desequilibrios generados hasta lograr la estabilización de la mente. Toda reflexión va de la mano con las observaciones, algunas de éstas se realizan mediante el uso directo de los sentidos y otras a través de recuerdos de observaciones previas, pertenecientes a las experiencias del sujeto o de otros. Algunas de las condiciones dadas por la situación se pueden constituir en obstáculos; otras en ayudas o en recursos, estas condiciones pueden establecerse o bien mediante percepción directa o a través de la memoria.


Toda acción reflexiva, está constituida por los datos o hechos y por las ideas las cuales se constituyen por las sugerencias y las soluciones posibles. Estos factores son producidos por la observación y la inferencia la cual se relaciona más con lo posible que con lo real, esta procede mediante la anticipación, la suposición, la imaginación. Así toda previsión, predicción, planificación y teorización se caracterizan por el paso de lo real a lo posible.


En la ciencia cuando se tiene que realizar una inferencia en un problema siempre tiene que tenerse en cuenta dos aspectos: las condiciones con las que hay que tratar y las ideas que son planes para tratar o suposiciones para interpretar.


Para concluir se puede decir que toda actividad de pensamiento está constituida por un límite inferior conformado por una situación confusa, desconcertante, problemática y el límite superior que está configurado por una situación clara, unificada y resuelta.


LA COMUNICACIÓN


La impresiones sensoriales como la forma, olor, textura, sabor, color se alojan en nuestra memoria como tales, pero cuando ellas van referidas a un objeto particular se hacen necesarias las palabras, sin ellas, no tenemos la manera de unir estas impresiones sensoriales; es así como las palabras son una representación del mundo exterior y como tales podemos combinarlas conformando ideas, estas a su vez pueden ser ordenadas y categorizadas dándole forma y estabilidad a las nociones.


Así mismo, las palabras proveen los medios para crear las abstracciones, aunque mentalmente se categorice y seamos capaces de hacer uso de las cosas, pero sin la palabra no es posible crear abstracciones, reflexionar, hacer planes, no se pueden realizar combinaciones de imágenes, formular hipótesis o posibilidades, no se puede entrar en el reino de la imaginación y de la figuración.


El surgimiento del lenguaje encierra un misterio, aunque los investigadores del cerebro como Broca y Wernicke[57] han descubierto que las principales áreas del lenguaje están situadas en el hemisferio izquierdo del cerebro, en el lado temporal y los lóbulos frontales; en tanto que las áreas equivalentes del hemisferio derecho están sobre todo relacionadas con el procesamiento de ruidos del entorno y con destrezas espaciales y se procesan los movimientos delicados de la mano incluyendo los gestos.




El área donde se desarrolla el lenguaje, también es rica en conexiones con estructuras más profundas del cerebro que procesan estímulos sensoriales y también es uno de los sitios donde las impresiones almacenadas de distintos sentidos –en particular las del tacto y el oído- se juntan y vuelven a ensamblarse para formar memorias coherentes.


El cerebro es un medio de comunicación que sigue sus propias reglas, así, el lenguaje formal de señas se procesa en el área del lenguaje pues aunque no tiene el componente esencial del lenguaje que son las palabras, sí posee una estructura lingüística y esto parece ser lo que le interesa al cerebro.



La destreza que crea y entiende el lenguaje estructurado parece estar situada en el cerebro en el área del lenguaje en forma potencial, antes que cualquier idea; algunos estudios de niños con el síndrome de Williams así lo demuestran


En la comunicación con el otro, también parece existir una capacidad instintiva para atribuir estados mentales a otras personas, incluso se intenta explicar lo que otra persona cree y desea. La teoría de la modularidad de la mente y las explicaciones de Andrew Whiten[58] (1991), hablan de la “teoría de la mente” la cual afirma que “cuando los niños alcanzan los tres años de edad atribuyen estados mentales a otras personas cuando intentan explicar sus acciones”. Esta teoría declara que los conceptos básicos de creencia y deseo que utilizan los niños independiente del trasfondo cultural, se hayan construidos, en los primeros estadios de su desarrollo, según lo evidencian las investigaciones que avalan esta teoría.




Por consiguiente, estos conceptos parecen derivar de una estructura psicológica innata, un módulo mental rico en contenido que crea interpretaciones obligadas del comportamiento humano en términos mentales. Los estudiosos de la “teoría de la mente” como Alan Leslie[59] han logrado demostrar que el autismo es debido a una disfunción en este módulo, generando dificultades para la interacción social.


Nicolás Humphey[60] afirma “(…) los individuos con capacidad para predecir el comportamiento de los demás alcanzan mayor éxito reproductivo”. Además, el poder de previsión y de comprensión social –lo que el llamó una inteligencia social-, es esencial para mantener la cohesión social, ya que posibilita la transmisión del conocimiento práctico; la inteligencia social, también proporciona un amplio conocimiento sobre quiénes son los amigos y aliados y la capacidad de inferir los estados mentales de esos individuos. En efecto, exploramos nuestra propia mente y la usamos como modelo para hurgar en la mente de otro individuo, reflexionamos sobre cómo nos sentiríamos y nos comportaríamos en un determinado contexto y suponemos que otro individuo haría lo mismo, esto muestra a las claras la existencia de una conciencia reflexiva. Estudios del cerebro utilizando los escáneres demuestran que cuando los examinados son instados a evaluar el estado mental de otra persona, se activa un punto en medio de la corteza prefrontal, una de las partes más desarrolladas del cerebro, esta área activada tiene un amplio rango de conexiones con muchas otras áreas del cerebro, en especial aquellas que hacen falta para recuperar información almacenada, memorias personales para poder “leer entre líneas”, o para “ver a través” de la apariencia visible; esta área prefrontal está relacionada con capacidades cognoscitivas de tipo general.


El cerebro también tiene que ver con la expresión y la comprensión del lenguaje, al respecto Paul Broca[61] en 1861 comprobó que una lesión localizada en el lóbulo frontal izquierdo de unos de sus pacientes se había manifestado en la imposibilidad del paciente para la expresión verbal, con la aparente conservación de la capacidad para comprender el lenguaje; esta disfunción se conoce hoy en día con el nombre de afasia, término introducido por Throusseau. Las investigaciones de Broca permitieron diferenciar dos tipos de comunicación, la lingüística y la no lingüística y dentro de la comunicación lingüística se puede distinguir la comprensión y la expresión.


El área de Broca está cerca del área motora en el sitio donde se controla la mandíbula, la laringe, la lengua y los labios. El área de Broca y la de Wernicke están conectadas, si esta conexión se daña la persona es incapaz de repetir lo que se le dice o también puede darse una repetición exagerada de lo que oye (ecolalia) debido a la hiperactividad de las conexiones entre estas dos áreas.


Pocos años después de los descubrimientos de Broca, Wernicke[62], descubre el área del cerebro que lleva su nombre donde se realiza la expresión y la comprensión del lenguaje (fig 26). Esta área está localizada en el tercio medio de la primera circunvolución temporal; el análisis del significado de las palabras se lleva a cabo en esta área o bien muy cerca de ella, en una parte de la corteza que se expande sobre la parte superior y posterior del lóbulo temporal, hasta alcanzar el lóbulo parietal; es evidente que hay una conexión entre la corteza auditiva primaria y el área de Wernicke.



El lograr que la expresión oral tenga sentido implica todo un proceso cerebral que involucra en primer lugar un reconocimiento de la entrada, de que efectivamente la entrada se trata de lenguaje, esta diferenciación es realizada por el tálamo y la corteza auditiva primaria. Luego el habla es enviada a las áreas del lenguaje para ser procesada, todos los ruidos del entorno en otra parte del cerebro. Se ha descubierto que el área principal de la corteza del lenguaje está dividida en muchas regiones y subregiones procesadoras distintas.


Una vez que el habla ha sido identificada se le asigna a las palabras algún tipo de significado y a su vez el sonido del habla se descompone en sus elementos como son las palabras y las frases, estos dos procesos se realizan al mismo tiempo dando explicación a la teoría del procesamiento en paralelo, en este caso este tipo de procesamiento nos permite identificar cuando empiezan y terminan las frases, pues esto no se podría realizar sin el significado; igualmente, sin un conocimiento de la construcción es difícil comprender el significado, por esta razón en la construcción del lenguaje es importante la puntuación y la sintaxis. En el proceso de reconocimiento del habla también es indispensable la diferenciación de sonidos que cambian rápidamente como por ejemplo, la diferencia entre dos consonantes habladas como en las palabras debe y bebe; los neurólogos han encontrado cerca del área de Wernicke una superficie de tejido aproximadamente de 1 cm2 de área que se activa solamente cuando se oyen consonantes.


Pero en el período comprendido entre los años 1970 – 1993[63] se produjeron cambios significativos con el respecto al paradigma localizacionista y conexionista, en lo que se refiere a la lateralización del lenguaje (hemisferio izquierdo del cerebro) no es definitiva porque estudios de la afasia cruzada, por lesión en el hemisferio derecho, en niños menores de nueve años; demuestra que este hemisferio tiene mayor participación en el lenguaje que el izquierdo (fig 27). Se ha demostrado que la información proporcionada por los patrones de entonación que permite distinguir entre una pregunta, una aserción y una orden, se realiza en buena medida en el hemisferio derecho. Igualmente, hay evidencias acerca de que los aspectos discursivos del lenguaje se especializan en funciones del hemisferio derecho. También se observa una mayor participación del hemisferio derecho en hablantes de lenguas tonales y en los procesos de lectura de lenguas con escritura ideográfica.



Hoy en día se considera que las funciones lingüísticas no son exclusivas de la corteza cerebral sino que están implicadas estructuras profundas del cerebro, por debajo de la corteza cerebral, estas estructuras son los ganglios basales, el tálamo y la cabeza del núcleo caudado. En cuanto al hemisferio izquierdo del cerebro investigaciones realizadas afirman que las zonas anteriores del lóbulo temporal juegan un papel muy importante en la producción de sustantivos.


Otras investigaciones realizadas por Ojemann[64] mediante estimulación cortical han revelado que prácticamente todo el lóbulo frontal interviene en la producción lingüística. Y en cuanto a la comprensión, hoy se acepta como un lo anticipado por Luria[65] en el sentido de que las zonas terciarias parieto-occipitales intervienen de manera importante en la comprensión semántica, la propuesta de Alexander Luria[66] (1976) establece la relación cerebro-lenguaje en función de los niveles y procesos lingüísticos que se representan en zonas bien delimitadas del cerebro. Consideró que en las zonas anteriores las alteraciones del lenguaje son sintagmáticas, es decir, alteraciones en las relaciones que ocurren entre dos o más unidades que se
suceden en la cadena hablada, y las sucedidas en la gramática porque las frases deben respetar la gramática de la lengua y en lo que tiene que ver con comprensión al descubrir el sentido de lo que se escucha a través del establecimiento de relaciones. En las zonas posteriores los procesos son de tipo paradigmático es decir los que tienen que ver con la selección e identificación de signos de cualquier nivel, los procesos relacionados con la compresión en lo que tiene que con la distinción de fonemas p b y lo relativo a la expresión.


La neuroilingüística[67] ha realizado estudios relacionados con la organización del léxico en el cerebro demostrando que hay áreas especializadas en el procesamiento de la información asociadas con diferentes clases de palabras, la cuales se agrupan en una clase semántica o gramatical. En cuanto a las clases semánticas Goodglass[68] en 1966 que los nombres de las partes del cuerpo conforman una de estas clases; otras clases semánticas están constituidas por nombres de ciudades, los nombres propios, nombres de objetos inanimados y de objetos animados y dentro de la clase de los objetos inanimados está la subclase de los nombres de los alimentos.


Las categorías gramaticales tienen que ver con las palabras de clase abierta o de contenido como los sustantivos, adjetivos y verbos y las de clase cerrada o de función como los nexos y las preposiciones. Todas estas investigaciones de la neuroligüística están proporcionando evidencias de que el léxico se representa en el cerebro en un sistema ordenado y jerarquizado de categorías basado en sistemas que pueden ser de base semántica o gramatical.


También se ha podido establecer que en el cerebro se representan diferentes sistemas semánticos los cuales dependen de la modalidad de percepción, llegando a establecer sistemas semánticos específicos para el procesamiento de la información verbal, visual y táctil. Esto quiere decir, que la información sensorial no llega directamente al sistema semántico, sino que antes se analiza en estructuras funcionales específicas para cada modalidad de percepción. Cada uno de estos sistemas constituye una especie de “diccionario” de formas (lexicón) al que se accede, bien para el reconocimiento auditivo o visual de las palabras antes de asociarlas con su significado durante los procesos de comprensión o para localizar la forma fonológica a partir del significado en la expresión verbal. Así mismo se ha demostrado que hay dos diccionarios de entrada, uno para la audición y otro para la lectura.


Vygotsky[69] estudió la formación del concepto en el hombre y su relación con el aprendizaje de las palabras. Según este investigador, el papel que desempeñan las palabras es fundamental; primero se aprende la relación entre un objeto, una situación o una acción aislada y una palabra, en este primera fase no se ha aprendido un concepto, sino tan sólo una relación entre una circunstancia y un sonido/signo gráfico circunscrito.


En el experimento llevado a cabo por Saharov[70], colaborador de Vygotsky, se presentan elementos de diferentes formas, tamaños y colores, detrás de los cuales se escriben palabras carentes de significado, la tarea consiste en establecer vínculos conceptuales entre formas, tamaños, colores y “palabras nuevas”. De esta investigación Vygotsky pudo concluir que a la formación del concepto le sigue su transferencia a otros objetos, el proceso de inducción empleado logra que el sujeto emplee los nuevos términos al hablar sobre objeto y a definir su significado de una manera genérica.


La generalización se produce mediante una especie de cadena de percepción → palabra→percepción, mediante la cual las nuevas percepciones llevan a formular nuevas palabras para describirlas, lo que a su vez lleva a sistematizar la percepción para que sea posible con un número finito de palabras, expresar percepciones infinitas, por tal razón, las palabras se convierten en un medio para la formación de conceptos. Se puede decir que esta cadena de análisis – síntesis y ajuste del sentido atribuido a las palabras seguida y precedida de nuevas visiones de la realidad no tiene fin.


También es necesario destacar la “conciencia lingüística” porque para que exista disposición de elaborar un concepto en el sujeto cognoscente es necesario que sea consciente de lo que se conoce. Cuando el niño establece el nexo entre la palabra y el conjunto de objetos a los cuales pertenece la palabra sabe qué es ese objeto pero ignora que sabe qué es el objeto porque carece hasta ese momento de capacidad de abstracción y por lo tanto no puede conceptuar. Existe entonces una diferencia entre el aprendizaje de los conceptos espontáneos y el de los conceptos científicos porque los primeros se desarrollan de abajo arriba, es decir, de los objetos aislados a unos pocos conceptos generalizadores; en tanto que los conceptos científicos se construyen de arriba abajo.


Los experimentos seguidos por Ach[71] sobre la formación de conceptos produce una inversión en la pirámide de la formación de conceptos, aunque no se queda en esta sola actividad, sino que constituye una verdadera dinámica arriba abajo, abajo arriba. En estos experimentos se puede observar claramente varias fases en la formación de los conceptos: al principio tiene lugar la formación de conceptos, después la aplicación a nuevos objetos de un concepto ya formado, a continuación el uso del concepto en asociaciones libres y finalmente el papel de los conceptos en la formación de juicios y nuevos conceptos.


Para Vygotsky[72], la formación de conceptos es el resultado de una actividad muy compleja en la que intervienen todas las funciones intelectuales básicas, pero éstas no actúan solas sino que se necesita el uso de un signo o palabra porque las palabras y otros signos dirigen nuestras operaciones mentales, controlan su curso y las canalizan hacia la solución del problema que se afronta; por todo lo anterior a las palabras Vygostsky las denomina “instrumentos funcionales”.


Para este autor, no basta la presencia de un problema para resolver, como causa para la formación de conceptos, aunque puede desencadenar el proceso, no puede sostener su desarrollo, así mismo opina acerca de los objetos y de las tareas como factores que inducen el concepto desde dentro. El verdadero pensamiento conceptual se adquiere por una inducción producida desde el ambiente social, si el medio no presenta exigencias ni estimula su intelecto proporcionándole una serie de metas nuevas, el pensamiento no consigue alcanzar los estadios superiores.

[46] FERRATER MORA, José. Diccionario de filosofía. Barcelona, Ariel. 2001. v.3, p.2603.
[47] LOSEE, John. Introducción histórica a la filosofía a la ciencia. Madrid, Alianza Editorial, 1976. p.27
[48] PLATÓN. La republica. Bogotá, Ediciones universales. p.235
[49] LOSEE, op.cit., p.29
[50] Ibid. p.37
[51] FERRATER MORA, Op. cit., p. 2604.
[52] Ibid, p. 2604.
[53] BRUNER, Jerome. Realidad mental y mundos posibles. Los actos de la imaginación que dan sentido a la experiencia. Barcelona, Gedisa, 1999. p. 112-123

[54] Ibid. p. 112-123
[55] DEWEY, John. Cómo pensamos. Nueva exposición de la relación entre pensamiento reflexivo y proceso educativo. Barcelona, Paidós, 1989. p. 91-98
[56] Ibid. p. 107-108
[57] DE LA FUENTE, Ramón y ALVAREZ LEEFMANS,Francisco Javier. Biología de la mente. México, Fondo de cultura económica, 1999. p. 258-259
[58] MITHEN, Steven. Arqueología de la mente. Barcelona, Crítica, 1998. p.58
[59] DE LA FUENTE, Ramón y ALVAREZ LEEFMANS,Francisco Javier. Op. cit. p. 261
[60] MITHEN, Steven. Op. cit., p. 59
[61] CARTER,Rita. El nuevo mapa del cerebro. Barcelona, Pérez Galdós, 1998. p.150
[62] Ibid. p.151
[63] DE LA FUENTE, Ramón y ALVAREZ LEEFMANS,Francisco Javier. Op. cit., p. 271
[64] Ibid. p.274
[65] Ibid. p.274
[66] Ibid. p.274
[67] Ibid p. 276
[68] Ibid. p.276
[69] VYGOTSKY, Lev. Pensamiento y lenguaje. Barcelona, Paidós, 2001. p. 60-88.
[70] Ibid. p.122.
[71] Ibid. p.119
[72] Ibid. p 131

PITAGORAS DE SAMOS


LA VIDA DE PITÁGORAS VISTA POR CARL SAGAN



VIDA DE PITÁGORAS

Nació en Samos en el año 580 a.C- y murió en Metaponto en el año 520 a.C.) El padre de Pitágoras fue Mnesarchus y su madre Pithais, quien era nativa de Samos. Mnesarchus fue un mercader proveniente de Tiro



Dice una historia que llevó maíz a Samos, y como gratitud fue declarado ciudadano de Samos.
Tres filósofos se encontraban entre sus maestros. Uno fue Pherekydes, los otos dos filósofos son Thales y su discípulo Anaximandro, ambos vivían en Mileto, quienes lo introdujeron en las ideas matemáticas.






PITÁGORAS EN MILETO

Pitágoras conoce a Thales en Mileto entre Los 18 y 20 años. En este época, Thales era un anciano y contribuyó al interés de Pítágoras por la Matemática y la Astronomía y le aconseja viajar a Egipto para profundizar estos temas. Anaximandro Le dio clases de Geometría y Cosmología y muchas de sus ideas influyeron en Pitágoras.







PITÁGORAS EN CROTONA
Pitágoras llegó a Crotona con un sistema de pensamiento más o menos perfilado después de su larga experiencia por Oriente y Egipto. La ciudad le pidió que expusiera sus ideas y, según la tradición, Pitágoras dirigió por separado cuatro grandes discursos a los jóvenes, al Senado a las mujeres y a los niños. El contenido de estos cuatro discursos tal como ha sido transmitido por diversos conductos, está lleno de recomendaciones morales de gran perfección, derivadas fundamentalmente de la necesidad de ajustar la conducta humana a los cánones de armonía y justeza que se derivan de la naturaleza misma de las cosas e ilustradas con elementos específicos de la mitología de los habitantes de Crotona. Como consecuencia de este primer contacto surgió, al parecer no sólo en Crotona, sino en toda Italia un gran entusiasmo por Pitágoras.

En Crotona vivía Milón, un hombre rico y muy famoso, porque había sido el campeón de los juegos olímpicos en doce ocasiones. Milón estaba interesado en la Filosofía y la Matemática, y cedió parte de su casa a Pitágoras, para que crease su propia escueta. Allí fundó una Sociedad religiosa y filosófica.
La Sociedad que fundó (Hermandad Pitagórica) tenía un credo muy estricto y un rígido código de conducta, pero era igualitaria e incluía varias mujeres. Una de ellas era Teano, la hija de Milón con quien Pitágoras se casó.
LOS VERSOS DE ORO DE PITÁGORAS

Honra, en primer lugar, y venera a los dioses inmortales, a cada uno de acuerdo a su rango.
Respeta luego el juramento, y reverencia a los héroes ilustres,y también a los genios subterráneos:cumplirás así lo que las leyes mandan.
Honra luego a tus padres y a tus parientes de sangre.Y de los demás, hazte amigo del que descuella en virtud.  Cede a las palabras gentiles y no te opongas a los actos provechosos. No guardes rencor al amigo por una falta leve.
Compenétrate en cumplir estos preceptos, pero atiénete a dominar  ante todo las necesidades de tu estómago y de tu sueño, después los arranques de tus apetitos y de tu ira.
No cometas nunca una acción vergonzosa, ni con nadie, ni a solas: por encima de todo, respétate a ti mismo.
Seguidamente ejercítate en practicar la justicia, en palabras y en obras, aprende a no comportarte sin razón jamás.
Estas cosas hazlas en la medida de tus fuerzas, pues lo posible se encuentra junto a lo necesario.
Y sabiendo que morir es la ley fatal para todos, que las riquezas, unas veces te plazca ganarlas y otras te plazca perderlas.

De los sufrimientos que caben a los mortales por divino designio, la parte que a ti corresponde, sopórtala sin indignación; pero es legítimo que le busques remedio en la medida de tus fuerzas; porque no son tantas las desgracias que caen sobre los hombres buenos.
Muchas son las voces, unas indignas, otras nobles, que vienen a herir el oído: Que no te turben ni tampoco te vuelvas para no oírlas.
Cuando oigas una mentira, sopórtalo con calma.
Pero lo que ahora voy a decirte es preciso que lo cumplas siempre: que nadie, por sus dichos o por sus actos, te conmueva para que hagas o digas nada que no sea lo mejor para ti.
Reflexiona antes de obrar para no cometer tonterías: obrar y hablar sin discernimiento es de pobres gentes. Tú en cambio siempre harás lo que no pueda dañarte. No entres en asuntos que ignoras, mas aprende lo que es necesario:tal es la norma de una vida agradable.
Tampoco descuides tu salud, ten moderación en el comer o el beber, y en la ejercitación del cuerpo. Por moderación entiendo lo que no te haga daño. Acostúmbrate a una vida sana sin molicie,y guárdate de lo que pueda atraer la envidia.

No seas disipado en tus gastos como hacen los que ignoran lo que es honradez, pero no por ello dejes de ser generoso: nada hay mejor que la mesura en todas las cosas.
Haz pues lo que no te dañe, y reflexiona antes de actuar. Y no dejes que el dulce sueño se apodere de tus lánguidos ojos sin antes haber repasado lo que has hecho en el día:"¿En qué he fallado? ¿Qué he hecho? ¿Qué deber he dejado de cumplir?“
Esto es lo que hay que hacer, estas cosas que hay que empeñarse en practicar, estas cosas hay que amar. Por ellas ingresarás en la divina senda de la perfección.
¡Por quien trasmitió a nuestro entendimiento la Tetratkis, la fuente de la perenne naturaleza.
¡Adelante pues! ponte al trabajo, no sin antes rogar a los dioses que lo conduzcan a la perfección. Si observares estas cosas conocerás el orden que reina entre los dioses inmortales y los hombres mortales, en qué se separan las cosas y en qué se unen. Y sabrás, como es justo, que la naturaleza es una y la misma en todas partes, para que no esperes lo que no hay que esperar, ni nada quede oculto a tus ojos.

Tal es el destino que estorba el espíritu de los mortales, como cuentas infantiles ruedan de un lado a otro, oprimidos por males innumerables: porque sin advertirlo los castiga la discordia, su natural y triste compañera, a la que no hay que provocar, sino cederle el paso y huir de ella. ¡Oh padre Zeus! ¡De cuántos males no librarías a los hombres si tan sólo les hicieras ver a qué demonio obedecen! Pero para ti, ten confianza, porque de una divina raza están hechos los seres humanos, y hay también la sagrada naturaleza que les muestra y les descubre todas las cosas.
De todo lo cual, si tomas lo que te pertenece, observarás mis mandamientos,que serán tu remedio, y librarán tu alma de tales males. Abstiénete en los alimentos como dijimos, sea para las purificaciones, sea para la liberación del alma, juzga y reflexiona de todas las cosas y de cada una, alzando alto tu mente, que es la mejor de tus guías. Si descuidas tu cuerpo para volar hasta los libres orbes del éter, serás un dios inmortal, incorruptible, ya no sujeto a la muerte.
LOS NÚMEROS POLIGONALES

Los pitagóricos solían representar los números mediante puntos en un pergamino o piedrecillas en la arena y los clasificaban según las formas poligonales de estas distribuciones de puntos, es decir, asociaban los números a figuras geométricas obtenidas por la disposición regular de puntos, cuya suma determina el número representado. Así obtenían los diversos tipos de números poligonales o figurados:
Los número triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, ...
Los número cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, ...
Los números pentagonales: 1, 5, 12, 22, 35, ...