LOS CAMBIOS DE REGISTRO EN EL APRENDIZAJE DE LAS FRACCIONES

En la mayoría de las prácticas de enseñanza de las matemáticas, se puede notar como principio fundamental, la preparación sólida de los conocimientos como punto de partida indispensable para la ampliación y adquisición de otros nuevos. Las representaciones, el ejercicio constante de cada mecanismo adquirido, son indispensables como medios didácticos. Los problemas deben ir graduados en progresión creciente de dificultad y agrupados dentro de lo posible dentro de tipos análogos. En estas prácticas pedagógicas han sido formados la mayor parte de los maestros de matemáticas que se encuentran en ejercicio.


LOS CAMBIOS DE REGISTRO EN EL APRENDIZAJE DE LAS FRACCIONES.


En el estudio de las fracciones se presenta el mayor número de errores y obstáculos epistemológicos produciendo confusiones en los registros de representación mental debido a fallas en la estructura curricular, porque la mayoría de los conceptos relacionados con las fracciones aparecían diseminados en todos los cursos sin ningún vínculo con otros conceptos matemáticos y mucho menos con el significado dentro de un contexto, parece subyacer la idea de que sea la práctica repetitiva lo que lleve a su comprensión y a un dominio rutinario de las reglas de cálculo, se nota una preocupación sobre el cómo se usan las fracciones que de qué son.


Realizando un análisis de las guías para el maestro emanadas del Ministerio de Educación Nacional bajo la asesoría de la Misión Alemana, se puede observar en la guía de matemáticas del grado cuarto de primaria el énfasis en el afianzamiento de conceptos y en la operatoria y entonces, la necesidad de los números fraccionarios se fundamenta en la ampliación del campo de los números naturales cuando no se hace posible la división exacta entre números naturales. La operatoria está fundamentada en el algoritmo dejando de lado el concepto, esto se puede ver en los siguientes ejemplos propuestos como orientaciones metodológicas para el maestro.


Repartir 6 naranjas
a. Entre dos alumnos
b. Entres tres alumnos
c. Entre cuatro alumnos
d. Entre cinco alumnos
e. Entre seis alumnos

Y en la solución que se propone se nota el marcado énfasis en la utilización del algoritmo.

Escribir las expresiones numéricas correspondientes.
6:2 = 3, porque, 3 x 2 = 6
6: 3 = 2, porque 2 x 3 = 6
6: 4 = 1, residuo 2, porque (1 x 4) + 2 = 6
6: 5 = 1, residuo 1, porque (1 x 5) + 1 = 6
6: 6 = 1, residuo 0, porque (1x 6) + 0 = 6


La comprobación gráfica de las reparticiones realizadas, no muestra claridad sobre el proceso seguido. Se puede ver además que la secuencia regularmente adoptada en la enseñanza de las fracciones como es: concepto, relaciones-equivalencia y orden-operaciones-significado y algoritmo, es trabajada en un contexto específico surge entonces la pregunta ¿Es capaz el estudiante de trasladar esa comprensión y destrezas conseguidas a interpretaciones y contextos diferentes?.

Se ha podido observar que la capacidad de trasladar esa comprensión a situaciones distintas no es del todo clara, es decir, puede ser que el estudiante tenga claro el significado de una fracción en una situación, sabiendo realizar su representación con diagramas y de forma numérica, así como reconocer el significado de las operaciones en dicho contexto y esto no implica que sepa utilizar la misma "herramienta" en contextos distintos.


Los textos de apoyo a las guías del maestro, que circularon bajo el nombre "calculemos", también asesorados por la Misión Alemana, proponen una secuencia de enseñanza basada en la memorización ausente de significación y en la algoritmación.


A continuación se presenta una secuencia de enseñanza para tercero de primaria en donde se estudia la fracción ½. Este tipo de enseñanza sin compresión genera equívocos registros de representación mental que imposibilita al niño para aplicar lo aprendido en la solución de situaciones de la vida cotidiana.

Se hace indispensable entonces el planteamiento de secuencias de enseñanza de tal forma que proporcionen a los niños la adecuada experiencia con la mayoría de sus interpretaciones, pero para lograr esto es importante resaltar que en el aprendizaje del concepto de fracción se pasa por una variedad de estructuras cognitivas a las que las diferentes interpretaciones de las fracciones están conectadas, en el siguiente diagrama se pueden ver los diferentes tipos de interpretaciones del concepto de fracción.


Esta red conceptual se debe tener en cuenta cuando se planee una secuencia de enseñanza, pero también es importante anotar que cada elemento de le red conceptual anterior genera una nueva red conceptual y llama una gran cantidad de estructuras cognitivas.

Las fracciones encierran una gran riqueza de significados, según Kieren (1976), las principales interpretaciones de un número racional son las siguientes:

· Una sub-área de una región previamente definida.
· Una relación parte-todo entre cantidades discretas.
· El resultado de una comparación entre dos cantidades discretas o dos medidas.
· El resultado de una división entre dos enteros o sencillamente la indicación de esa operación.
· Un punto de una escala graduada, situado entre dos valores enteros.

No todos los significados anteriores tienen las mismas dificultades de comprensión por parte de los niños. Depende básicamente de dos factores, el marco experiencial vinculado a la edad, el grado de abstracción y de si se refiere al significado asociado a fracción, a decimal o a porcentaje.

Si se hace referencia a los significados asociados a fracción, parece que la noción de "partes de un todo" es la de más fácil comprensión por los niños, resultando más asequible la tarea de sombrear en una figura una fracción dada que la operación inversa, sobre todo si en la zona sombreada se incluyen superficies equivalentes, pero de distinta forma, como partes del todo.

Dentro de esta relación parte-todo, parece que el modelo área es más asequible que el modelo discreto o la recta numérica; sin embargo presenta algunas dificultades como son:

· La compresión de áreas de igual tamaño.
· Las diversas transiciones desde un diagrama hasta la expresión verbal o simbólica.
· La comprensión de fracciones impropias.
· La identificación de la unidad en situaciones donde hay más de una unidad.
· Las derivadas de la adición usando diagramas de áreas.

Aunque matemáticamente la representación como sub-longitud de una longitud unidad es una analogía unidimensional de la de sub-área de un área unitaria, se pone de manifiesto en los niños de básica primaria que el modelo de recta numérica es bastante más complejo que el de la relación parte-todo tanto como sub-área como la de subconjunto de un conjunto discreto, fundamentalmente porque reduce la fracción a un número abstracto. Sin embargo presenta dos ventajas: permite una comprensión de los racionales como extensión de los números naturales; potencia la aparición de las fracciones impropias.

El trabajo con el modelo de recta numérica presenta dos dificultades, una de ellas es la asociada con la identificación de la unidad o la que surge al operar con una escala que va más allá de uno.


La fracción relacionada con la operación de división de los números enteros en los problemas de reparto presenta una gran similitud con el modelo de sub-área de un área unitaria, cuando se trata de repartir una unidad. La situación se vuelve más difícil para el niño, cuando son varias las unidades a repartir o cuando éstas no pueden ser divididas, como sucede cuando se pretende repartir animales u objetos que habría de partir.


En cuando al tema de la proporcionalidad, se puede decir que es un núcleo a partir del cual se unifican las nociones de razón, proporción, fracción y número racional, número decimal y problema de la medida, escalas, repartos proporcionales, regla de tres, porcentajes. La proporcionalidad permite la comparación del tamaño de dos conjuntos o medidas por lo tanto se constituye en el fundamento de muchas de las aplicaciones de las fracciones en la vida rea.

Cuando se comparan mediante una fracción dos conjuntos o medidas, posibilita que la razón pueda invertirse, por lo tanto no existe una unidad natural o un todo.

Otra dificultad esencial la constituye la representación escrita de los números decimales, porque aunque en la básica primaria se enseñan antes las fracciones a través de situaciones concretas y mediante la relación parte-todo en modelos continuos, los decimales se muestran enfatizando en los aspectos de notación y suponiendo que el conocimiento de las fracciones está sólidamente construido. La traducción de un número decimal como representación mental a representación escrita, ha presentado como obstáculo relevante la identificación de la parte decimal como una porción de la unidad


La relación parte – todo y la medida.

Esta situación se presenta cuando un todo (continuo o discreto) se divide en partes congruentes. La fracción indica la relación que existe entre un número de partes y el número total de partes, el cual puede estar formado por varios todos.

Se hacen necesarias algunas habilidades para el dominio de la relación parte – todo como son: la capacidad de dividir un todo en partes, reconocer el todo, realizar divisiones congruentes, reconocer las partes del todo.

La estructura cognitiva de la noción de fracción en su aspecto parte – todo en contextos continuos ha sido estudiada por Piaget, Inhelder y Szeminska la cual se fundamenta en la adquisición de las siguientes habilidades:

· Un todo está compuesto por elementos separables. Una región o superficie es vista como divisible.
· La separación se puede realizar en un número determinado de partes pre-establecido o pedido.
· Las subdivisiones cubren el todo (la mayor parte de los niños pequeños cuando se les pide repartir un pastel entre tres muñecos cortan tres trozos e ignoran el resto).
· El número de partes no coincide con el número de cortes.
· Los trozos-partes, son iguales. Las partes tienen que ser del mismo tamaño, es decir, congruentes.
· Las partes se pueden considerar como totalidad (un cuarto de un todo, se puede obtener dividiendo las mitades en mitades)
· El todo se conserva.

Payne (1976) añade otros atributos:

· Control simbólico de las fracciones, es decir, el manejo de símbolos relacionados con las fracciones.
· Las relaciones parte-todo en contextos continuos y discretos.
· Las fracciones mayores que la unidad
· Sudivisiones equivalentes.


El determinismo de la forma ha influido negativamente en la construcción del concepto de fracción, puesto que cuando se hace una partición, se busca que las partes sean congruentes en cuanto a la forma, como se puede ver en el gráfico que aparece a continuación:


La partición en partes iguales sin embargo se puede realizar de la siguiente forma:



Este tipo de representación provoca desequilibrio y por tanto suscita comentarios entre los estudiantes y nuevas acciones que llevan a justificar si la partición es justa o no. Esta introducción de anomalías a las regularidades ayuda a la argumentación.

Las estimaciones de tamaño, las relaciones de tamaño explicando el porqué por simple comparación visual, se constituyen en actividades exploratorias que llevan a descifrar la clase de conocimiento inicial de los estudiantes acerca de las fracciones.


LOS CAMBIOS DE REGISTRO EN LA ARITMÉTICA.


El paradigma reinante que trata a las matemáticas como un cuerpo objetivo de conocimientos y técnicas que se pueden transferir de una forma más o menos inalterada a las mentes de los alumnos receptivos ha llevado a Carpenter a afirmar que el conocimiento matemático no se adquiere a partir de alguna fuente externa, sino que es construido activamente por el niño.

El niño desde muy temprana edad, adquiere algunas nociones matemáticas como resultado de la interacción con el medio social, estas primeras nociones tienen que ver con el significado de la palabra "más" y es capaz de apreciar los efectos de las operaciones de suma y resta; así también es capaz de combinar dos o más grupos de objetos y luego combinarlos para luego determinar el número de objetos resultante de la combinación comenzando por el cardinal de uno de los conjuntos y contando sólo los objetos del segundo conjunto a partir de ahí, creando la estrategia de sumar, contando. También los niños descubren que es más rápido realizar el conteo empezando por el cardinal del conjunto más numeroso.

El conocimiento informal adquirido por el niño en su medio social es reemplazado luego por el conocimiento formal escolarizado como un sistema altamente organizado, codificado y escrito, desarrollado a lo largo de los siglos en contextos socio-culturales diferentes a los actuales y transmitido de una manera sistemática mediante la educación. Ante esta situación, los niños optan por realizar combinaciones de registros de representación mental generados en el ambiente informal de la vida cotidiana con registros de representación mental generados mediante el conocimiento formal presentado en la escuela.

Las reglas aplicadas a las operaciones, la mayoría de las veces, presentan un registro mental de memorización carente de significado y el sistema mental de generalizaciones las aplica en toda situación. Así cuando en la operación de resta memoriza la regla "siempre hay que restar el número menor al mayor", se presenta el siguiente error sistemático muy común en los niños de primaria.


Como ya se anotó el proceso de conteo de dos grupos de objetos por completación de la cardinalidad es una estrategia muy adecuada para la suma, pero muchas veces es abandona cuando tiene que aplicar el algoritmo de la suma; así la suma mediante conteo la realiza bien, pero cuando debe aplicar el algoritmo lo conduce a un error



35 + 18 = 413

Este error se presenta porque todavía el niño no tiene la representación mental del concepto de numeración decimal.


EL PROBLEMA DE LOS CAMBIOS DE REGISTRO EN EL ÁLGEBRA


El desarrollo histórico del álgebra sugiere que actualmente ésta se concibe como la rama de las matemáticas que trata la simbolización de relaciones numéricas generales y de estructuras matemáticas así como de la operación sobre esas estructuras.

Los temas típicos incluyen:

§ Propiedades de los números reales y complejos

§ El planteamiento y resolución de ecuaciones de primer y segundo grado en una incógnita

§ La simplificación de expresiones polinómicas y racionales

§ La representación simbólica de funciones lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, junto con sus gráficas

§ Sucesiones y series


El contenido del álgebra escolar ha cambiado poco. Al comienzo de este siglo los cursos iniciales de álgebra cubrían temas como:


§ Simplificación de expresiones

§ Planteo y resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas

§ Uso de tales técnicas para hallar respuesta a problemas

§ Práctica con razones, proporciones, potencias y raíces.


En las siguientes décadas se incluyeron aspectos prácticos y el uso de los métodos gráficos. Al comienzo de los años 60 se vio una brecha muy grande entre el álgebra escolar y las necesidades de ella en campos como la física nuclear, la exploración espacial, las comunicaciones y la tecnología computacional. Se crean entonces las nuevas matemáticas. Se incluyen las desigualdades y se hace énfasis en conceptos unificadores como conjunto y función a fin de enseñarlos de manera que su estructura y carácter deductivo fuera evidente.


Se mantiene el carácter estructural que era evidente a comienzos del siglo. Ejemplos de aspectos estructurales del álgebra superior tradicional incluyen: simplificación y factorización de expresiones; resolución de ecuaciones haciendo operaciones en ambos lados y manipulación de parámetros de ecuaciones funcionales tales como y = v+(x-h)3, para manejar familias de funciones.


El capítulo introductorio de la mayor parte de los textos enfatiza la aritmética. Las representaciones algebraicas se tratan como enunciados generalizados de las operaciones aritméticas; es decir que se trabaja en términos procedimentales en donde los valores numéricos se sustituyen por expresiones algebraicas para obtener resultados específicos. Sin embargo, una vez que se ha completado esta introducción, relativamente suave, las representaciones algebraicas empiezan a tratarse como objetos matemáticos sobre los cuales se ejecutan ciertas operaciones estructurales tales como combinar términos; factorizar o restar un término en ambos lados de una ecuación.


Se hace necesario realizar una distinción entre los términos procedimental y estructural. Procedimental, se refiere a las operaciones aritméticas que se hacen sobre números para obtener números. Estructural se refiere a un conjunto de operaciones que se hacen, no sobre números, sino sobre expresiones algebraicas.


Sfard (1991) ha sugerido que las nociones matemáticas abstractas pueden concebirse en dos formas fundamentalmente diferentes: estructuralmente (como objetos) y operacionalmente (como procesos). Ella asegura que para la mayoría de las personas la concepción operacional es el primer paso en la adquisición de nuevos conocimientos matemáticos. La transición desde una concepción de "proceso" hacia una concepción de "objeto" no se logra ni rápidamente ni sin esfuerzo. Una vez que ambas concepciones se han desarrollado, ellas juegan papeles muy importantes en la actividad matemática ulterior.


Existe una honda brecha ontológica entre las concepciones operacional y estructural. Ver una entidad matemática como un objeto significa ser capaz de referirse a ella como si fuese algo real, una estructura estática, que existe en algún tiempo y lugar. También significa ser capaz de reconocer la idea a primera vista y de manipularla como un todo sin requerir los detalles. En contraste, interpretar una noción como un proceso implica verla como una entidad potencial más que como una entidad real, que tiene existencia por ser consecuencia de una serie de acciones. Así, mientras que la concepción estructural es estática, instantánea e integradora, una concepción operacional es dinámica, secuencial y detallada.

La existencia de etapas históricas en las que conceptos como número y función han evolucionado desde la concepción operacional hasta la estructural le han sugerido a Sfard la creación de un modelo de tres fases paralelas del desarrollo conceptual.


En la primera fase, llamada de interiorización, se hace algún proceso sobre objetos matemáticos familiares. En la segunda fase, llamada condensación, el proceso o la operación se divide en unidades más manejables. La fase de condensación dura hasta que se concibe una nueva entidad únicamente en forma operacional. La tercera fase, llamada materialización involucra la habilidad repentina para reconocer algo familiar con una nueva perspectiva.

Mientras que la interiorización y la condensación son largas sucesiones de cambios cuantitativos y graduales más que cualitativos, la materialización parece ser un salto en el que el proceso se convierte en un objeto, en una estructura estática. La nueva entidad se desprende del proceso que la produjo. Por ejemplo, Sfard afirma:


"En el caso de las funciones la materialización puede evidenciarse por la habilidad de resolver ecuaciones en las cuales las incógnitas son funciones (ecuaciones diferenciales y funcionales, ecuaciones con parámetros); por medio de la habilidad para expresarse con respecto a propiedades generales de diferentes procesos realizados sobre funciones (tales como composición e inversión) y por último por el reconocimiento de que la computabilidad no es característica necesaria de los conjuntos de parejas ordenadas que se consideran como funciones.

De la misma forma que el proceso histórico puede verse como una evolución procedimiento-estructura, puede verse el álgebra escolar como una serie de

ajustes proceso-objeto que los estudiantes deben hacer a fin de comprender todo el aspecto estructural del álgebra. Ya se han discutido brevemente las adaptaciones que los estudiantes deben hacer cuando comienzan el estudio de las expresiones algebraicas y de ecuaciones: no pueden seguir interpretando estas entidades como operaciones aritméticas sobre algún número sino que más bien deben aprender muy rápidamente a verlas como objetos en sí mismos, sobre los cuales se realizan procesos de cierto nivel (es decir, operaciones). En otras palabras, los estudiantes deben darse cuenta pronto de que los objetos son los que están operando son expresiones algebraicas y no solamente números; además que las operaciones que se realizan son las de simplificación, factorización, racionalización del denominador, resolución o diferenciación de ecuaciones, etc, y no sumas, restas, multiplicaciones o divisiones. Tall (1989) ha anotado que 2(a+b) y 2a ± 2b se perciben como dos procesos diferentes. En el momento en que un estudiante es capaz de concebir una expresión algebraica como un objeto matemático y no sólo como un proceso, la manipulación algebraica puede representar, de acuerdo con Tau, un fuerte conflicto.


Otro ajuste que deben hacer quienes inician su estudio de álgebra, es aprender a manejar la estructura del álgebra; en particular que la representación simbólica de relaciones numéricas tiene que ver con la traducción de situaciones problemáticas a ecuaciones. Las ecuaciones algebraicas son representaciones estructurales que requieren una perspectiva no aritmética tanto en el uso del signo iguál (=) como en la naturaleza de las operaciones que se requieren. En los ejemplos que se presentan a continuación se muestra que el camino recorrido desde un punto de vista aritmético hacia uno algebraico puede interpretarse como un movimiento desde una concepción procedimental hasta una estructural.

En la escuela elemental, el signo igual se usa más para anunciar un resultado que para expresar una relación simétrica y transitiva: el signo es unidireccional. Considere el siguiente ejemplo:



Daniel visita a su abuelita. Ella le da $15.000. Luego él compra un libro que cuesta $32.000. Si aún le quedan $23.000, ¿cuánto dinero tenía antes de visitar a su abuelita?

Estudiantes de grado sexto lo resuelven de la siguiente forma:

23.000+32.000 = 55.000 – 15.000 = 40.000


Obsérvese que se violan la simetría y la transitividad de la relación de equivalencia. El signo igual se lee como "da" indicando una relación direccional, izquierda-derecha. El énfasis interpretativo que se da en álgebra al signo igual radica precisamente en respetar el carácter simétrico y transitivo de la igualdad (Vergnaud)

El ejemplo anterior ilustra también que los estudiantes obtienen sus respuestas trabajando "hacia atrás" usando secuencias lineales que involucran una cadena de operaciones inversas, usualmente sin formalización alguna de la situación del problema o del método de solución. En aritmética el objetivo es encontrar la respuesta, normalmente realizando algunas operaciones secuencialmente sobre números del problema o sobre resultados intermedios que se derivan de esas operaciones. En contraste, este método de "ir hacia atrás" que se usa en la aritmética, casi nunca se aplica en álgebra. Si se considera el siguiente problema


Una tienda de video ofrece 2 planes de alquiler. En el primero se pagan $22.500 por año más $2.000 por cada película que se alquile. En el segundo, la afiliación es gratuita, pero se cobra $3.250 por cada película que se alquile. ¿Para qué número de cintas alquiladas los dos planes cuestan lo mismo?


Filloy y Rojano (1984) han recalcado que ocurre una ruptura con problemas como los anteriores, los cuales se pueden modelar con ecuaciones del tipo


ax ± b = cx ± d.


Los estudiantes no sólo deben comenzar a pensar en términos de operaciones "hacia adelante" para efectos de modelar estos problemas con ecuaciones, sino que deben contar con un método de resolución que opere sobre ambos lados de la ecuación, es decir de un método que opere sobre un objeto algebraico.

Lesh, Post y Behr (1987) han distinguido la solución de problemas algebraicos de la solución de problemas aritméticos haciendo notar que en álgebra el problema requiere primero describir y luego calcular.


Sin embargo, es posible hacer descripciones tanto en términos estructurales como en términos procedimentales. Esta diferencia se muestra claramente en el problema

Profesor-Estudiante: Escribir una ecuación, usando las variables P y E, para representar la siguiente situación:

Hay seis veces más estudiantes que profesores en este colegio. Use E para el número de estudiantes y P para el número de profesores. En él se requiere escribir una ecuación en la que las letras se deben tratar como variables y el signo igual debe representar una equivalencia. Una variación de problema que implica una interpretación puramente procedimental es la siguiente.


Los estudiantes tiene mayor éxito con la aproximación procedimental (la cual requiere un algoritmo par obtener una cantidad) que con la estructural (que requiere una relación de igualdad entre variables). El ejemplo anterior sugiere que aun en el nivel superior, los estudiantes de álgebra pueden encontrar mayor significado en las representaciones procedimentales basadas en interpretaciones numéricas que en las representaciones estructurales.


Históricamente las representaciones procedimentales perduraron por varios siglos. Wheeler (1989) ha señalado que en el momento en que se desarrolló un lenguaje simbólico especializado, desapareció una cantidad considerable de significado subyacente. El álgebra retórica y lacónica eran relativamente fáciles de seguir y comprender, hasta el siglo XVI, cuando la notación comenzó a ser demasiado compleja para entenderse en palabras; el paso a un sistema simbólico eliminó los significados de ítems individuales y aún de las operaciones que actuaban sobre ellos. El lenguaje simbólico es poderoso porque elimina muchas de las distinciones que lo vernáculo preserva y expande en gran medida su aplicabilidad. Sin embargo, Wheeler recalca que el lenguaje simbólico es, desde el punto de vista semántico, extremadamente débil e introduce la dificultad para el estudiante de que al servir para varios contextos, el lenguaje parece no pertenecer a ninguno.


Para resumir, las demandas cognitivas que se imponen a los estudiantes de álgebra incluyen:

El tratamiento de representaciones simbólicas que tienen muy poco o ningún contenido semántico como objetos matemáticos y la operación sobre estos objetos con procesos que usualmente no arrojan resultados numéricos; la modificación de sus interpretaciones iniciales de ciertos símbolos, y la inducción a representar las relaciones de situaciones enunciadas en palabras con operaciones que frecuentemente son las inversas a las que ellos usaban casi automáticamente, para resolver problemas similares en la aritmética.