LOS CAMBIOS DE REGISTRO EN LAS MATEMÁTICAS

Se pretende en esta investigación estudiar los procesos de enseñanza/aprendizaje de los saberes matemáticos en los aspectos teórico-conceptuales y de resolución de problemas y los factores que condicionan dichos procesos; tratando de determinar en primera instancia el significado que los estudiantes atribuyen a los términos y símbolos matemáticos, a los conceptos y proposiciones, como una forma de indagar la manera como se hacen los registros de los objetos matemáticos y además cómo se suceden los cambios de registro.


Sierpinska[102] (1990), afirma con respecto al significado de los objetos matemáticos:

Comprender el concepto será entonces concebido como el acto de captar significado. Este acto será probablemente un acto de generalización y síntesis de significados relacionados a elementos particulares de la estructura del concepto (la estructura es la red de sentidos de las sentencias consideradas en el concepto).

Estos significados particulares tienen que ser captados en actos de comprensión.


La preocupación por el significado de los términos y conceptos matemáticos lleva directamente a la indagación sobre la naturaleza de los objetos matemáticos.


Se quiere resaltar la visión de los objetos matemáticos como símbolos de unidades culturales, cuyo carácter sistémico y complejo no puede ser descrito únicamente mediante definiciones formales, cuando hay un interés por su enseñanza y aprendizaje.

Chevallard[103] (1991) define un objeto matemático como "un emergente de un sistema de prácticas donde son manipulados objetos materiales que se desglosan en diferentes registros semióticos: registro de lo oral, palabras o expresiones pronunciadas; registro de lo gestual; dominio de la inscripción, lo que se escribe o dibuja (grafismos, formulismos, cálculos, etc.), es decir, registro de lo escrito". Llama praxema a los "objetos materiales ligados a las
prácticas" y usa esta noción para definir el objeto como un "emergente de un sistema de praxemas".

Del lenguaje natural al registro matemático.
Se presentan confusiones cuando el profesor emplea términos relacionados con las matemáticas y el estudiante los interpreta de acuerdo con el lenguaje natural, tratando de emplear significados no matemáticos en contexto matemático.



Es preciso el concepto de registro como un concepto de la lingüística y que Halliday[104] (1975) describe como “conjunto de significados apropiado para una determinada función del lenguaje, con las palabras y estructuras que expresan estos significados”


El mismo Halliday[105] aclara “no debemos pensar que un registro matemático consista sólo en aspectos de terminología, o en el desarrollo de un registro como un simple proceso de adición de palabras nuevas”.


Un registro matemático utiliza palabras especializadas muy difíciles de encontrar en un contexto diferente al de las matemáticas como son: cuadrilátero, paralelogramo, hipotenusa, multiplicando.


O se toman palabras prestadas que corresponden al lenguaje natural como: lado, grado, relación, potencia, radical, racional, natural. Esta palabras reciben una atribución de significado especializado para ser usadas en contexto matemático.


Hay registros matemáticos que se siguen empleando aunque el soporte psicológico proporcionado por una determinada imagen deje de ser válido porque pierde el referente cotidiano como sucede con el término “en el sentido de las agujas del reloj”. Esta expresión se usa con el mismo significado cotidiano y ha sido adoptado por la dinámica, el electromagnetismo, y la geometría.


Naturaleza del registro matemático. Con respecto a la naturaleza del registro matemático afirma Halliday [106].

Podemos hablar de un «registro matemático» en el sentido de los significados que pertenecen al lenguaje de las matemáticas (el uso matemático del lenguaje natural, o sea: no matemático de por sí), y de lo que un lenguaje debe expresar si se utiliza con fines matemáticos... No debemos pensar que un registro matemático consista sólo en aspectos de terminología, o en el desarrollo de un registro como un simple proceso de adición de palabras nuevas.


Mediante la utilización de registros matemáticos pueden desarrollarse discursos sobre las ideas, objetos y procesos matemáticos


El desarrollo de los registros matemáticos se realiza a través del tiempo produciendo acceso a significados a través del lenguaje


Según Halliday[107] (1975), la expansión de un registro consiste en la acuñación de términos especializados y la invención de palabras nuevas.


El uso de las preposiciones puede generar significados diferentes; como en el teorema de Pitágoras no significa lo mismo


“El cuadrado de la hipotenusa” (1)
“El cuadrado sobre la hipotenusa” (2)


En el caso 1, el uso de la preposición de, hace significar a la hipotenusa como una magnitud y el teorema de Pitágoras se interpreta como una relación entre números.


En el caso 2, la preposición sobre, conlleva al significado de un cuadrado construido sobre la hipotenusa y por lo tanto el teorema de Pitágoras significaría una relación entre cuadrados.

También se puede presentar una variación de la categoría y función gramaticales al ser tomado del habla normal. Esto se puede ver en el uso de las palabras que designan los números en los siguientes casos:


El dos tomado como adjetivo: dos libros, el número dos es par y primo. Los numerales también pueden ser usados como predicados: cuatro es potencia de dos.



En registros matemáticos correspondientes a las fracciones, se puede encontrar otros ejemplos de variación de categoría gramatical. Así la expresión gramatical dos quintos, puede analizarse como sintagma nominal como en los siguientes casos: dos quintos es menor que tres quintos, dos quintos está entre cero y uno.


Los fraccionarios como objetos matemáticos dan cuenta de una riqueza conceptual porque tres quintos puede ser visto como un objeto singular y por lo tanto es visto como un número; también puede ser visto como un conjunto de números, varios (o sea, tres cosas); además se percibe como una operación en la cual hay que dividir 3 entre 5.



Los operadores gramaticales como y, o y no constituyen términos problemáticos debido a la influencia del registro matemático. Sobre el habla castellana Stubbs[108] (1984) la llama visión pseudo-algebraica del lenguaje como la doble negación “yo no se nada” en la cual se incluyen indicadores negativos dobles.


En el lenguaje usual se unen conjuntivamente dos o más proposiciones, cuando hay entre ellas cierta afinidad quedando descartados usos como: Bogotá es la capital de Colombia y el café colombiano es un estimulante.


La lógica sin embargo, no está sujeta a esta limitación idiomática debido a la visión pseudo-algebraica del lenguaje Stubbs[109] (1984), porque en la lógica basta que dos proposiciones sean verdaderas para que puedan ser unidas conjuntivamente, vaciando a las proposiciones de su contenido.


La conjunción de dos o más proposiciones, se hace en lógica mediante la partícula de enlace “y” pero nuestro lenguaje natural es más rico, porque ésta partícula también se puede expresar mediante las palabras ...igualmente, ...también.., ... del mismo modo...,...mientras que...,...pero..., ...mas, sin embargo,,, , ...no obstante...,... a pesar de..., ...pese a que...,...tampoco...

En el lenguaje natural presenta otras dificultades para ser traducida al lenguaje formal, porque con frecuencia además de unir dos proposiciones tiene sentido temporal o indica sucesión, por lo tanto, no se puede variar el orden de las proposiciones en lenguaje natural.


Si se dice: tuvieron dos hijos y se casaron, no es lo mismo que decir: se casaron y tuvieron dos hijos, por lo tanto cambia el significado; mientras que éste cambio se puede hacer perfectamente en la lógica matemática.
La famosa frase “vino, vio, venció” perdería su significación si ordenáramos las palabras de otra forma. Estas palabras también pueden ser usadas como nombres esto se puede observar en la proposición: Tres es un número impar.


La solución de problemas. Es común encontrar, en la solución de problemas que basta trasladar los términos verbales a los numéricos y luego relacionarlos mediante la operación que corresponda, esto implica una creencia en la que se considera que el niño no necesita hacer una representación mental de los elementos del problema.


Este modelo de traslación directa tan difundido en las aulas escolares intentaba dar cuenta de una perspectiva conductista, la cual consistía en dos supuestos básicos: La traslación directa, por la cual los elementos del problema como son: las cantidades, relaciones entre ellas y expresiones verbales, se aplican directamente a una de las operaciones conocidas por el estudiante;el cálculo, en el cual se aplica la operación requerida, a dichos elementos.



Este modelo persistente aún en nuestras aulas escolares emplea las «palabras clave» como una ayuda didáctica para lograr el cambio de registro, constituyéndose en un método de resolución de problemas que determina unas acciones estrechamente unidas a dichas palabras clave y no se tiene la posibilidad de saber, si el estudiante comprendió e interpretó realmente el problema.


Comprender un problema consiste en representarse internamente sus cantidades y la equivalencia final entre las acciones ejercidas y el resultado de las mismas, comprender es además interpretar dicha representación.


Se puede decir entonces que en la solución de un problema, se puede contar con las características superficiales del mismo como es la traducción de, palabras clave, a símbolos y las estructuras profundas, las cuales se refieren a la interpretación y comprensión del problema están asociadas con la construcción de representaciones internas del problema; por lo tanto, se debe hacer énfasis en la construcción de una metodología adecuada que permita el paso de las características superficiales del problema a las estructuras profundas.


Los procesos metodológicos que impiden este paso, están relacionados con tres aspectos básicos los cuales se constituyen en fuente de obstáculos epistemológicos como son:
· La interpretación de la resolución de un problema, como una actividad de aplicación de un teoría previamente explicada, este metodología consiste en:
a. Se inicia con material manipulativo.
b. Se representan gráficamente las cantidades empleadas, mediante diagramas, gráficos u otros.
c. Junto a los gráficos y diagramas se colocan los símbolos numéricos tanto de cantidades, como de operaciones a ser efectuadas
d. Se ejercitan diversas operaciones de modo exclusivamente simbólico.
e. Se plantean problemas elementales cuya solución exija la operación o concepto recién aprendido.


Como se puede ver la metodología tradicional supone que el estudiante, no dispone de estrategias previas para resolver un problema o éstas no son adecuadas.


También se afirma que las estrategias con que cuenta el estudiante son muy limitadas e influenciadas por el contexto del problema y difícilmente pueden conducir a una generalización

Hasta aquí se puede concluir como dice Blanco (1991) que “ la resolución de problemas tiene dos direcciones como justificación y/o aplicación de los conocimientos aprendidos y otra como motor de conocimiento”.


Este modelo de “traslación directa” desde una perspectiva conductista no puede dar cuenta de los procesos complejos del pensamiento que permitan resolver todo tipo de problemas.


Las teorías del procesamiento de información encontraron en el campo computacional un lenguaje y una estructura conceptual para la formulación de modelos de pensamiento. Desde esta perspectiva el aprendizaje no es visto como la adquisición de nuevas conductas, sino como la adquisición de conocimiento, por lo tanto se presta atención a hechos matemáticos y lingüísticos, como también al lenguaje algorítmico y es complementado con el conocimiento estratégico.


Entre las diferentes teorías que han emergido de la teoría cognitiva, respecto a la solución de problemas se pueden citar:

· El modelo de Newell y Simon[110] (1972). En primer lugar este modelo se ocupa del enunciado del problema, el cual para ser Interpretado necesita de un contexto cultural, la estrategia de solución no debe ser obvia, además el problema debe estar bien definido.


Este modelo tiene que ver con:
La construcción del espacio del problema, cuando el resolutor del problema lee el enunciado, interpreta el lenguaje con el fin de construir su representación interna la cual está formada, según éste modelo, por “un conjunto de nodos”, cada nodo representa un posible estado de conocimiento, es decir, lo que sabe el resolutor del problema consiste en la elección de un nodo acertado o nodo base que desencadene de manera serial las acciones necesarias para la solución del problema.



Como cada nodo está sustentado, se puede ver en éstas teorías cognitivas que el sistema de procesamiento está integrado básicamente, por dos tipos de memoria, la memoria a corto plazo o memoria activa o de trabajo, donde se considera reside la representación interna del problema. Este tipo de memoria se la considera activa porque sus contenidos reciben distintas acciones que los transforman, esta transformación es realizada mediante dos hechos: las acciones externas generadas por el enunciado del problema y la relación que tiene con la memoria a largo plazo donde están almacenados los contenidos más permanentes y es de capacidad ilimitada. De la interacción entre los dos tipos de memoria, surgen estrategias las cuales son valoradas utilizando los nuevos nodos alcanzados con cada una de ellas en el sentido de si proporcionan información relevante que conduzca a la solución del problema. Se puede decir que la representación interna del problema cambia constantemente, en la medida que surgen nuevas estrategias y por lo tanto la generación de nuevos nodos de conocimiento.


Esta teoría deja abiertos muchos interrogantes relacionados con el papel desempeñado por la conciencia, referente a ella se pueden realizar las siguientes preguntas: ¿quién construye la representación interna?, ¿quién selecciona estrategias?, ¿quién recupera información de la memoria a largo plazo?. Respecto a estos interrogantes por resolver De Vega (1982), en su libro “la metáfora del ordenador” comenta “...la conciencia no es tratada con justicia por la metáfora computacional. Algunas de las propiedades de la conciencia, como la generación de planes, el control de la conducta o imágenes mentales, son reductibles al lenguaje del procesamiento. Pero muchas otras facetas como el componente cualitativo o experiencial del conocimiento no tienen significado desde la perspectiva funcionalista de la mente”

· Los marcos conceptuales. Regine Douady[111] (1986), introduce la noción de marco conceptual, en el siguiente sentido:

Digamos que un marco está constituido por objetos de una rama de las matemáticas, por las relaciones entre los objetos, por sus formulaciones eventualmente diversas y por imágenes mentales asociadas a estos objetos y sus relaciones.

Estas imágenes juegan un papel esencial en su funcionamiento como útiles, de los objetos del marco, como una noción dinámica. El cambio de marcos es un medio para obtener formulaciones diferentes de un problema, que sin ser necesariamente equivalentes, permiten un nuevo acercamiento a las dificultades encontradas y la puesta en escena de útiles y técnicas que no se impusieron en la primera formulación.


El “juego de marcos”, tiene que ver con el cambio de marcos propuesto por el docente para hacer avanzar las fases de investigación de un problema.

En el desarrollo de este juego se distinguen tres fases:
· Transferencia e interpretación
· Correspondencias imperfectas
· Mejoramiento de la correspondencia y progreso del conocimiento.


Los distintos escenarios donde se puede dar solución a un problema, son ejemplos de marcos; así se puede hablar del marco algebraico, numérico y geométrico. Cuando se aplica el juego de marcos se propone a los alumnos resolver un cierto problema o una cierta ecuación en un cierto marco y traducirlo (todo o parte de éste) a otro (transferencia e interpretación). La correspondencia entre los marcos en general es imperfecta, ya sea por causa matemática o por conocimientos insuficientes de los estudiantes. Esta situación es fuente de desequilibrio, a su vez la comunicación entre los marcos y, en particular, la comunicación con un marco auxiliar de representación es un factor de reequilibración. Eso conduce al mejoramiento de las correspondencias y al progreso del conocimiento.


En la solución de una ecuación por ejemplo, “inducir la solución” requiere, en principio, de la articulación de las diferentes representaciones (algebraicas y gráficas) y además debe conocer un método de solución.


Según Hitt [112] (1978) la inteligencia se construye en la medida donde la experiencia nueva no viene simplemente a añadirse al conocimiento anterior sino provoca una reorganización, una reestructuración del conocimiento en una totalidad coherente. El progreso está, por tanto, ligado a la presencia de un conflicto (una contradicción entre el objeto y los esquemas utilizados para aprenderlo.


La psicología cognoscitiva sostiene que lo que se aprende debe ser racional y estructurado: el problema principal al cual se enfrenta el estudiante consiste en relacionar un orden exterior con un orden interior a esto se le denomina “cultivo de la racionalidad” según la epistemología-psicológíca.


Sostiene Guy Brosseau[113] (1991), Observamos en los docentes dos conductas características: por una parte, si los alumnos fracasan el docente tiende a proveer una “nueva oportunidad” (plantea “un problema igual al viejo”) y en consecuencia, la solución se obtiene por la repetición y no por la comprensión. Por otra parte, el docente debe estar consciente que el proceso didáctico sufre también de “envejecimiento” que se observa en la repetición de los mismos procedimientos didácticos y que éstos no tienen el mismo efecto.


Visualización en matemáticas.


Las ideas, conceptos y métodos de las matemáticas presentan una gran riqueza de contenidos visuales, representables intuitivamente, geométricamente, cuya utilización resulta muy provechosa, tanto en las tareas de presentación y manejo de tales conceptos y métodos como en la manipulación con ellos para la resolución de los problemas.

Los expertos poseen imágenes visuales, modos intuitivos de percibir los conceptos y métodos, de gran valor y eficacia en su trabajo creativo y en su dominio del campo en que se mueven. Mediante ellos son capaces de relacionar, de modo muy versátil y variado, constelaciones frecuentemente muy complejas de hechos y resultados de su teoría y a través de tales redes significativas son capaces de escoger de manera natural y sin esfuerzo, los modos de ataque más eficaces para resolver los problemas con que se enfrentan.

Las ideas básicas del análisis elemental, por ejemplo orden, distancia, operaciones entre números, nacen de situaciones bien concretas y visuales. Todo experto conoce la utilidad de atender a tal origen concreto cuando quiere manejar con destreza los objetos abstractos correspondientes. Lo mismo sucede con otras partes aparentemente más abstractas de la matemática.

Esta forma de actuar con atención explícita a las posibles representaciones concretas en cuanto develan las relaciones abstractas que al matemático interesan constituye lo que se denomina visualización en matemáticas. Las matemáticas tratan de explorar las estructuras de la realidad que son accesibles mediante ese tipo de manipulación especial que llamamos matematización, que se podría describir como sigue. Se da inicialmente una percepción de ciertas semejanzas en las cosas sensibles que nos lleva a abstraer de estas percepciones lo que es común, abstraíble, y someterlo a una elaboración racional, simbólica, que nos permita manejar más claramente la estructura subyacente a tales percepciones.

La aritmética, por ejemplo, surge del intento de dominar la multiplicidad presente en la realidad, con la geometría se trata de explorar racionalmente la forma y la extensión, el álgebra se ocupa de explorar, en una abstracción de segundo orden, las estructuras subyacentes a los números y a las operaciones entre ellos, es una especie de símbolo del símbolo, el análisis matemático nació con la intención de explorar las estructuras del cambio y de las transformaciones de las cosas en el tiempo y en el espacio.

Nuestra percepción es muy prioritariamente visual y así no es de extrañar en absoluto que el apoyo continuo en lo visual esté tan presente en las tareas de matematización, no sólo en aquellas que, como la geometría, se refieren más directamente a la exploración específica de aspectos del espacio, sino también en otras, como el análisis, que nacieron para explorar los cambios de los objetos materiales en sí mismos y en sus aspectos espaciales.

Y aun en aquellas actividades matemáticas en las que la abstracción parece llevarnos mucho más lejos de lo perceptible por la vista, los matemáticos muy a menudo se valen de procesos simbólicos, diagramas visuales y otras formas de procesos imaginativos que les acompañan en su trabajo haciéndoles adquirir lo que se podría llamar una intuición de lo abstracto, un conjunto de reflejos, una especie de familiaridad con el objeto que les facilita extraordinariamente algo así como una visión unitaria y descansada de las relaciones entre objetos, un apercibimiento directo de la situación relativa de las partes de su objeto de estudio.

La visualización aparece así como algo profundamente natural tanto en el nacimiento del pensamiento matemático como en el descubrimiento de nuevas relaciones entre los objetos matemáticos, y también, naturalmente, en la transmisión y comunicación propias del quehacer matemático.

Nuestra visualización, la visualización humana, incluso el mero fenómeno que llamamos "visión" en su sentido más físiológico, no es un proceso que meramente haga relación a los procesos ópticos de nuestros ojos. Es un proceso mucho más complejo que involucra, y de forma mucho más importante, el cerebro humano. En el niño que acaba de nacer y abre sus ojos tiene lugar un fenómeno tal vez mucho más cercano al que se realiza en una cámara fotográfica, pero los procesos cerebrales subsiguientes hacen que, después de muy poco tiempo, tras la experimentación con los objetos que ha ido viendo, el niño convierta su visión en una verdadera interpretación del puro fenómeno óptico que en su aparato visual se produce.

Los fenómenos de visualización de los cuales se va a hablar llevan consigo una carga de interpretación mucho más honda todavía. En muchas de las formas de visualización que vamos a experimentar se trata de un verdadero camino de codificación y descodificación que está inmerso en todo un cúmulo de intercambios personales y sociales, buena parte de ellos arraigados profundamente en la misma larga historia de la actividad matemática. Esto implica que la visualización sea un proceso que hay que aprender en la interacción con las personas a nuestro alrededor y en la inmersión e inculturación en el tejido histórico y social de la matemática.

La visualización no es una visión inmediata de las relaciones, sino una interpretación de lo que se presenta a nuestra contemplación que solamente podremos realizar eficazmente si hemos aprendido a leer adecuadamente el tipo de comunicación que la sustenta.



Probablemente el novicio que mira con atención esta figura ve, con suerte, dos cuadrados iguales que se han diseccionado de dos formas distintas y será capaz tal vez de comprender, a través de las indicaciones escritas, que el cuadrado sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo que ha resultado, que parece ser copia de los otros que aparecen en diversas posiciones en la figura tiene un área igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los dos catetos. Para llegar de ahí al teorema de Pitágoras será necesario que se pueda cerciorar de que efectivamente los triángulos que resultan son iguales y que esa misma situación se puede dar para cualquier triángulo rectángulo, es decir es una situación genérica.

La pretendida absoluta inmediatez ante la anterior disección o alguna de las otras disecciones clásicas que tratan de poner de manifiesto el teorema de Pitágoras no deja de ser hasta cierto punto engañosa, pues todas ellas necesitan una labor de descodificación en la que es necesario introducir al no iniciado.

Esta consideración es una de las razones profundas de que la iniciación a la visualización, por ejemplo en la enseñanza, sea una tarea nada fácil ya que requiere muy esencialmente la conciencia clara de quien la transmite de que la transparencia del proceso, tal vez real para él mismo por razón de la familiaridad adquirida con la práctica a lo largo del tiempo, puede ser inexistente para el que comienza a adentrarse en este tipo de proceso.

Pero la presencia de este ejercicio de descodificación en cualquier visualización pone en claro lo que más interesa destacar ahora. Que la visualización matemática no va a ser un término unívoco ni mucho menos. Según el grado de correspondencia, más o menos cercana, más o menos natural, simbólica, incluso más o menos comunicable o privada, entre la situación matemática que tratamos de visualizar y la forma concreta que empleamos para hacerlo van a existir muy distintas formas de visualización.

· Visualización analógica. Se sutituyen mentalmente los objetos con los que se trabaja por otros que se relacionan entre sí de forma análoga y cuyo comportamiento resulta más conocido por haber sido mejor explorado.

La visualización o modelización analógica era un método de descubrimiento usual en Arquímedes, tal como afirma él mismo en el tratado Sobre el Método dedicado a su amigo Eratóstenes. Son muchos los descubrimientos espectaculares debidos a Arquímedes, tales como el cálculo del volumen de la esfera, que fueron obtenidos a través de analogías y experimentos de pensamiento de naturaleza mecánica.

El ejemplo siguiente, ilustra esta forma de trabajo adecuadamente.
Se trata de determinar un cuadrilátero plano de área máxima cuyos lados tengan longitudes prefijadas a, b, c, d, en el orden indicado. (Se supone que las longitudes dadas son tales que existe algún cuadrilátero con esta propiedad).

El problema físico que puede proporcionar la solución a este problema es el siguiente. Se dan cuatro varillas que forman un cuadrilátero plano articuladas en los extremos de modo que se mantienen todas en un plano. Se forma una película de jabón en su interior. La posición de equilibrio de las varillas es tal que la superficie de la película de jabón (área del cuadrilátero) es máxima (tensión superficial de la película mínima). Esta posición de equilibrio resolverá por tanto nuestro problema.
Las fuerzas que actúan sobre el sistema se reducen a cuatro fuerzas en el plano del cuadrilátero perpendiculares a sus lados aplicadas en los puntos medios de éstos con una intensidad proporcional a la longitud del lado correspondiente.

No es difícil ver que el equilibrio se alcanza cuando las cuatro mediatrices concurren, es decir cuando el cuadrilátero es inscriptible. Queda así demostrado que entre todos los cuadriláteros con longitudes de sus lados prefijadas el inscriptible es el de área máxima.

La visualización analógica no debería ser un escándalo para ningún matemático. Bastaría para ello pensar en que nada menos que Arquímedes la usaba en su trabajo tan frecuentemente y contemplar la belleza de la idea, también analógica, de Johann Bernoulli en su solución del problema de la braquistócrona. Pero es que incluso el formalista más puro debería considerar que los campos en los que se establece la analogía que resuelve el problema son en muchos casos susceptibles ellos mismos de la formalización más rigurosa, si eso es lo que le satisface.

· Visualización diagramática. Los objetos mentales y sus relaciones, en los aspectos que nos interesan, son meramente simbolizados de manera que los diagramas así obtenidos nos ayuden en nuestro procesos de pensamiento alrededor de ellos. A veces se podría decir que estos procesos vienen a asemejarse a reglas nemotécnicas. Los diagramas en árbol que usamos en combinatoria o probabilidad así como otros mucho más personales que cada uno se construye, son de esta naturaleza.

Tales simbolizaciones y diagramas pueden resultar de aceptación muy extendida y convertirse en una herramienta de uso generalizado en ciertos ambientes o bien a veces son de uso más personal, individual, subjetivo, a veces intransferible, otras veces transferible pero no transferido, unas veces por la dificultad intrínseca a tal comunicación, otras veces por la creencia de que tal modo de ver las cosas "me es útil a mí pero a nadie más", otras por la convicción, en mi opinión errónea, de que tales procesos "son andaderas que deben desterrarse ya que lo que verdaderamente vale es la formalización a la cual hay que aspirar en matemáticas".

Por mi parte pienso que la experiencia del éxito de los que son buenos transmisores del quehacer matemático demuestra que sus logros se basan muy frecuentemente en el esfuerzo que ponen por transmitir y hacer partícipes a los otros no solamente de los resultados a los que en el campo se llega, sino también de los procesos por los cuales se ha podido acceder a ellos.

Cuando uno examina los escritos de Euler, por ejemplo, se da cuenta de esta gran cualidad expositiva de uno de los genios de la matemática.

Es claro que la diferenciación entre todas estas formas de visualización señaladas no es exhaustiva ni es tampoco tan nítida que permita encasillar con exactitud los muy diferentes tipos de procesos semejantes que se pueden presentar.
[102] GODINO, Juan D y BATANERO, Carnem. el análisis del significado de los objetos matemáticos como área prioritaria de investigaciónen educación matemática.1998. p.

[103] Ibid. p.11
[104] PIMM, David. El lenguaje matemático en el aula. Madrid; Ediciones Morata, 1990. p. 116
[105] Ibid. p. 116
[106] Ibid. p.117
[107] Ibid. p.118
[108] Ibid p. 123
[109] Ibid p. 123
[110] BEST, John B. Psicología cognoscitiva. 5 ed.México, Thomson Editores. 2002. p. 444
[111] DOUADY, Regine. La didáctica de las matemáticas en la actualidad. Documento de trabajo, ingeniería didáctica I área de educación matemática. Universidad del Valle. P. 29
[112]
[113] BROSSEAU, Guy. ¿Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de la didáctica de las matemáticas?. Francia, IREM, universidad de Bordeaux I. p.17